Решение. Упругую линию балки будем искать в виде

Упругую линию балки будем искать в виде

 

Функции в (3.2.1) должны быть линейно независимыми. Кроме того, желательно, чтобы их система удовлетворяла условиям полноты. Наконец, в методе Ритца принятое выражение для упругой линии должно обязательно удовлетворять кинематическим граничным условиям задачи: при и ни в коем случае не накладывать дополнительных кинематических ограничений (например, закреплять какое-то сечение балки по ее длине). Эти требования будут выполнены, если в качестве координатных функций примем

Заметим, что функции удовлетворяют также и силовым граничным условиям: при

Удовлетворение силовым граничным условиям в методе Ритца хотя и не обязательно, но желательно, поскольку при этом повышается быстрота сходимости, решения. С учетом выражение перепишется в виде

 

Чтобы воспользоваться уравнениями метода Ритца

 

 

необходимо предварительно определить выражения для потенциальной энергии балки и силовой функции поперечной нагрузки

Если ограничиться учетом лишь деформаций изгиба балки, то

 

или, после подстановки в ,

 

Силовая функция внешних сил

 

Внося полученные выражения для П и U в уравнение , имеем

 

Откуда

 

С учетом выражение для упругой линии балки окончательно примет следующий вид:

 

Интересно оценить точность решения при сохранении в ряду лишь нескольких первых членов. Подсчитаем прогиб балки в середине пролета и сохранении в лишь первого члена

 

Точное решение дает

 

Погрешность результата составляет всего 0,4%.

ВЫВОДЫ

В курсовой работе рассмотрено приближенный метод решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрено краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго рода. Основное внимание сосредоточено на решении уравнений методом Ритца, который показан на примерах.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эльсгольц «Дифферененциальные уравнения и вариационное исчисление»

2. Самойленко,Кривошея,Перестюк «Диф.уравнения примеры и задачи»

3. А.Ф.Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям»

4. Вержбицкий В.М. «Численные методы (мат. анализ и обыкновенные дифф. уравнения)» (ВШ, 2001)

5. http://distance.net.ua/Russia/Stroimeh/lekciya/Razdel11/urok6.htm

 

В отличии от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в краевой задаче значение искомой функции (или значение линейной комбинации функции и ее производной) задается не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение.