МЕХАНИКА. изучение законов механики с помощью прибора атвуда

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

 

 

изучение законов механики с помощью прибора атвуда

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003 г.

 

Цель работы - экспериментально проверить законы динамики поступательного и вращательного движения, соотношения кинематики равномерного и равноускоренного движения; измерить момент инерции, силу трения и момент силы трения с помощью прибора Атвуда.

 

Общие сведения

 

Координата х и скорость тела, движущегося прямолинейно вдоль оси 0 х с постоянным ускорением , изменяются со временем согласно уравнениям

(1)

где - начальная (при t = 0) координата тела; - проекция начальной скорости на ось 0 х; а - проекция ускорения на ось 0 х.

Исключая из уравнений (1) время, получим связь координаты и скорости в виде

. (2)

Движение точки по окружности характеризуется угловой скоростью , угловым ускорением , а также тангенциальным () и нормальным () ускорениями. Линейная скорость v связана с угловой соотношением u = wR, а тангенциальное и угловое ускорения - соотношением а_t = e R.

Основными законами динамики являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона определяет причину изменения движения:

(ускорение тела совпадает по направлению с вызывающей его силой , величина ускорения прямо пропорциональна величине силы и обратно пропорциональна массе тела: ).

Рассматривая случай неизменности массы при движении и используя понятие импульса (количества движения) тела , запишем второй закон Ньютона в виде

.

Иначе говоря, сила равна по величине скорости изменения импульса тела.

В случае, если движение тела определяется несколькими силами, суммарную (равнодействующую) силу находят как векторную сумму действующих на тело сил:

.

В случае вращения твердого тела относительно неподвижной оси

М = J e,

где М - результирующий момент сил относительно оси вращения; J - момент инерции тела.

Моментом силы относительно оси называют проекцию на эту ось момента силы относительно точки, лежащей на этой оси. Можно показать, что момент силы , где h - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

Устройство и работа прибора Атвуда рассмотрены в работе 2. Опишем количественно движение системы грузов (рис.1) на участках 1 (равноускоренное движение) и 2 (равномерное движение). Пусть М - масса грузов 1 и 2, m - масса перегруза. Уравнение движения грузов и блока (рис.2) запишем в виде

где Т ₁ и Т ₂ - силы натяжения, создаваемые грузами 1 и 2 соответственно; R и J - радиус и момент инерции блока; М _тр - момент силы трения, действующей на ось блока.

 

Ускорения грузов а ₁ = а ₂ = а, так как нить считается нерастяжимой. Пренебрегая проскальзыванием нити по блоку, можно положить

Решив систему уравнений относительно ускорения а, получим

(3)

Если допустить, что силы трения в блоке пренебрежимо малы по сравнению с mg, то М _тр/ R << mg. Если, далее, пренебречь массой блока, от которой зависит момент инерции J, то J/R ²<< 2 M + m. Тогда

Если, наконец, масса перегруза значительно меньше масс грузов (m << 2 M), то ускорение можно рассматривать как линейную функцию массы перегруза:

a = mg/ (2 M). (4)

 

Порядок выполнения работы

 

Задание 1. Проверить зависимость ускорения от массы перегруза. Для этого определить ускорение груза 2 с перегрузами разной массы и построить график функции a (m). Если его вид будет соответствовать теоретической зависимости (4), это подтвердит справедливость законов механики, на основании которых получено соотношение (3).

Задание 2.Экспериментально определить значения момента инерции блока J и силы трения в блоке F _тр. Полученные данные позволят подтвердить правильность сделанных упрощающих предположений, приводящих от уравнения (3) к уравнению (4).

Чтобы найти значение F _тр, следует определить сначала момент силы М _тр. Для этого запишем выражение (3), содержащее неизвестные J и М _тр, для двух пар значений а и m:

где i и к - индексы, обозначающие порядковый номер измерения.

Решив эту систему относительно J и М_тр, получим

(5)

Сила трения

F _тр = M _тр/ r, (6)

где r - радиус оси блока.

Для выполнения заданий нужно знать ускорение грузов на участке 1 (рис.1). Пусть длины участков 1 и 2 соответственно l ₁ и l ₂, а t - время прохождения грузом 2 пути l ₂. Тогда, согласно уравнению (2), на участке 1 груз 2 приобретает скорость v² = 2 al ₁, а на участке 2 движется равномерно: l ₂ = v t. Следовательно,

(7)

Результатом экспериментальной части работы должны стать значения времени t прохождения грузом 2 с перегрузами m пути l ₂.

К установке Атвуда прилагается набор из трех колец массами m ₁ = 6,50 г, m ₂ = 8,80 г, m ₃ = 12,60 г. Погрешности масс колец Используя данный набор колец, можно получить восемь различных масс перегруза: m ₁, m ₂, m ₃, m ₁ + m ₂, m ₁ + m ₃, m ₂ + m ₃ и m ₁ + m ₂ + m ₃.

Последовательность проведения измерений следующая:

1) надеть на груз 2 перегруз (одно или несколько колец);

2) измерить время t прохождения грузом пути l ₂;

3) повторить измерение времени t с перегрузом той же массы не менее пяти раз;

4) повторить измерения для всех остальных перегрузов;

5) записать значения l ₁ и l ₂; оценить погрешность их определения по шкале, нанесенной на колонке прибора Атвуда.

 

Результаты измерений записать в таблицу:

Таблица 1

Физ. величина	m	t	d t	a
Ед. измерения Номер опыта
	m 1 =...
	Средние	...	D t =...	a 1=...; D a 1=...
	m 2 =...

___________________

Примечание. t - среднее арифметическое время для данного перегруза; d t - отклонение измеренных значений t от среднего; D t - абсолютная погрешность измерения времени для каждой массы перегруза; а - ускорение системы, рассчитанное для времени по формуле (7) для каждого перегруза; D a - абсолютная погрешность измерения ускорения.

 

Формулу для расчета D a следует вывести самостоятельно, учитывая, что а измеряется косвенно через прямые измерения t, l ₁ и l ₂, абсолютные погрешности которых известны. Построив график функции a (m), нанести на него погрешности D а, отложив их в виде отрезков вверх и вниз от точки, соответствующей значению а. Сравнить вид получившейся зависимости с линейной зависимостью (4) и сделать вывод относительно справедливости законов механики, лежащих в основе вывода соотношения (4).

Для выполнения задания 2 взять две пары значений а и m (не соседние) и рассчитать момент инерции блока J и момент силы трения в блоке М_тр по формулам (5). Массы грузов 1 и 2 M=(60,0±0,5) г. Определив силу трения в блоке F _тр по формуле (6), сделать вывод относительно справедливости упрощающих предположений, позволивших свести соотношение (3) к выражению (4).

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое масса, сила, скорость, ускорение (танген­ци­альное, нормальное, полное), угловая скорость, угловое ускорение, момент инерции, момент силы относительно точки и относительно оси? В каких единицах выражаются эти величины в СИ?

2. Каковы законы изменения во времени координаты и скорости точки, движущейся равномерно и равноускоренно по прямолинейной траектории?

3. Как связаны линейная скорость и нормальное ускорение с угловой скоростью? Каково соотношение тангенциального и углового ускорений при движении точки по окружности?

4. Сформулируйте основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

5. Какой характер имеет движение груза в приборе Атвуда на различных участках траектории? Чем определяется различие?

6. Какой вид должна иметь кривая зависимости ускорения грузов от массы перегруза? Какой физический смысл имеют точки пересечения этой кривой с осями координат? При каких условиях кривая a (m) близка к прямой?

 

 

МЕХАНИКА

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

 

 

определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003 г.

 

 

Цель работы - определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.

 

Общие сведения

 

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения (см. таблицу). Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

или

,

где D m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Так как у тела может быть сколько угодно осей вращения, то и моментов инерции может быть бесконечное множество. Наибольший интерес для практики представляют моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей О x, О y, О z, проходящих через центр масс. Моменты инерции тела относительно этих осей называются главными моментами инерции:

Моменты инерции однородных тел простейшей формы

Тело	Положения оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	- «-
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходят через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходят через центр шара

Примечание .m- масса тела.

 

Если тело представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед со сторонами а, в, с (рис.2), моменты инерции тела

Здесь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонами соответственно bс, ас и аb.

Если тело имеет форму куба, то a = b = c и

.

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний.

Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол a, то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Она создаст крутящий момент (момент силы) М, возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Известно, что при небольших отклонениях от равновесия момент М пропорционален углу a. Введя коэффициент пропорциональности D - модуль кручения, зависящий от упругих свойств нити, получим

М = - D a.

Если пренебречь силами сопротивления, то основной закон динамики вращательного движения можно записать в виде

М = - D a = Je. (1)

Учитывая, что

уравнение (1) можно привести к виду

. (2)

Решением уравнения (2) являются функции синуса или косинуса

(здесь - амплитудное значение угла отклонения; w - круговая частота; - начальная фаза), дифференцируя которые два раза по времени, получим

. (3)

 

Уравнение (3) тождественно уравнению (2), если

. (4)

Так как , где T - период колебаний, то уравнение (4) можно записать в виде

. (5)

Так как D неизвестен, для его исключения из формулы (5) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого относительно оси вращения или легко рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например, куб, момент инерции которого

где m - масса куба, в данном случае m = 0,962 кг; а - длина ребра куба, а = 5,0 см.

В установке, используемой для измерений, имеется рамка, конструкция которой позволяет закреплять в ней различные тела, отличающиеся по массе и размерам.

Пусть J ₀ - момент инерции куба; J _р - момент инерции рамки; J - момент инерции параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (5) получим

(6)

где Т _р - период колебаний рамки; Т ₀ - период колебаний рамки и куба; Т - период колебаний рамки и параллелепипеда.

Исключая из уравнений (6) D и J _р, запишем

(7)

 

Порядок выполнения работы

 

Установка состоит из массивного основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в электронной схеме генерируются импульсы, которые после усиления подаются на электронный ­секундомер.

Последовательность измерений следующая:

1) измерить время t 10 колебаний пустой рамки; вычислить период колебания Т = t/N, где N - число колебаний;

2) повторить измерения не менее 10 раз;

3) установить в рамку куб и повторить пп.1-2 не менее 10 раз;

4) установить в рамку параллелепипед и повторить пп.1-2 не менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей).

Результаты, полученные в опыте, следует представить в виде таблицы.

Так как в работе производятся многократные измерения, то целесообразно рассчитать средние квадратичные ошибки для моментов инерции параллелепипеда относительно осей х, у, z. Удобно сначала рассчитать относительную ошибку . На основании формул теории погрешности (необходимо уметь выводить это соотношение)

(8)

где - средние квадратичные ошибки,

n - число измерений; - среднее значение соответствующего периода колебаний; - период, найденный в каждом опыте.

Так как , то формулу (8) можно записать в виде

, (9)

где - средняя квадратичная ошибка момента инерции куба,

где - ошибка при измерении массы, = 2 г; - приборная ошибка, = 1 мм.

Расчеты погрешностей следует делать для всех трех моментов инерции, а окончательные результаты представить в виде

Средние , и рассчитать по формуле (7).

 

Контрольные вопросы

 

1. В чем заключается физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции?

2. Как рассчитывается момент инерции? Выведите формулу (5).

3. В чем состоит сущность метода крутильных колебаний?

4. Какими уравнениями описываются крутильные колебания?

5. Какие величины влияют на период колебаний?

6. Почему Т и Т ₀ много больше периода рамки?

7. Как рассчитать J ₀?

8. Почему у параллелепипеда J_x ¹ J_y ¹ J_z,, а у куба J_x = J_y = J_z?

9. Почему формулу погрешности можно представить в более простом виде (9)?