Применение метода ветвей и границ к решению задач линейного целочисленного программирования

 

Рассмотрим задачу ЦЛП в матричной форме записи. Обозначим ОДП этой задачи D, а ОДП ЗЛП без ограничений целочисленности - G. Точно так же обозначим соответствующие системы ограничений, а сами задачи будем называть D-задача и G-задача.

max CX

D представляет собой часть G. G будем рассматривать в качестве исходного множества (рис.19).

 

Решим вначале G-задачу. Пусть при решении этой задачи получен оптимальный план Х_G. Значение целевой функции на нем z_G - оптимум G-задачи - будем использовать в качестве границы . В самом деле,

z_G СХ Х G;

z_G СХ Х D.

Если план Х_G целочисленный, то решение задачи окончено. Таким образом, мы ответили на первый и третий вопросы, конкретизирующие метод ветвей и границ.

Предположим, что хотя бы одна компонента Х_G не целочисленна: х_Gi Z.

Целой частью числа называют наибольшее целое число, меньшее или равное данному.

Обозначим целую часть числа х_Gi [х_Gi].

Конкретизируем второй вопрос.

Разобьем D на D₁ и D₂ следующим образом:

D₁={X D: х_i [х_Gi]};

D₂={X D: х_i [х_Gi] + 1}

(т.е. к одному множеству отнесли все допустимые планы, у которых i-я компонента не больше целой части х_Gi, а к другому - у которых не меньше следующего целого числа).

Разбивая D, мы одновременно разбиваем и G (рис.20).

Это разбиение обладает следующими свойствами:

G₁ G₂ G (объединение этих множеств содержится в G, но не равно ему);

D₁ D₂ = D (в устраненном «коридоре» нет ни одной точки с целочисленными координатами).

 

 

При этом устраняется и план Х_G.

Далее решение задачи продолжается для каждого из подмножеств G₁ и G₂.

Сходимость алгоритма основана на том, что в ограниченной ОДП множество дискретных точек конечно.

Следует отметить, что метод ветвей и границ легко обобщается и на частично целочисленные задачи (в качестве переменной, по которой разбивается множество, выбирают одну из тех, на которые наложены ограничения целочисленности).

 

3.5. Пример решения задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ

 

Требуется решить следующую задачу:

max 2х₁ + х₂

5х₁ + 2х₂ 10

3х₁ + 8х₂ 13

х_1,2 0

х_1,2 Z

Вначале решим эту задачу графически без ограничений целочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рис.21).

 

 

 

Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений:

5х₁ + 2х₂ = 10 х₁=27/17

3х₁ + 8х₂ = 13 х₂=35/34

Х_G = (27/17;35/34), z_G=143/34.

Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна z_G (рис.22).

 

 

Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х₁ Z; [х₁] = [27/17] = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:

G₁ = {X G: х₁ 1};

G₂ = {X G: х₁ 2}.

Изобразим это графически (рис.23).

 

 

 

 

 

Из рис.6 видно, что G₂ представляет собой одну точку Х_G2=(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( ₂=4).

План Х_G2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G₁. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G₁. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G₁.

На G₁ точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:

х₁ = 1 х₁=1

3х₁ + 8х₂ = 13 х₂=5/4

Х_G1 = (1; 5/4), z_G1=13/4.

Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х^*=Х_G2=(2;0),z^*=4.

 

Для задачи с булевыми переменными алгоритм метода ветвей и границ будет тот же, но разбиение проводится по первой по счету переменной, значение которой не равно 0 или 1. На одном подмножестве эта переменная приравнивается 1 (эта ветвь рассматривается вначале), а на другом - нулю.

Следует отметить, что для таких задач разработан более эффективный алгоритм решения (так называемый аддитивный), также основанный на методе ветвей и границ. В нем обычно требуется меньшее число итераций, а кроме того, и расчеты на каждой итерации являются менее трудоемкими, не требуют применения симплекс-метода.

 

Вопросы и упражнения

 

1. Как ставится задача целочисленного линейного программирования?

2. Какие существуют подходы к решению такой задачи?

3. В чем заключается идея метода ветвей и границ?

4. Как применяется этот метод к задаче целочисленного линейного программирования?

5. Как применяется этот метод (в ППП QSB) к задачам с булевыми переменными?

6. Решить методом ветвей и границ (и проиллюстрировать решение построением дерева) задачу

max 3х₁ + 2х₂

7х₁ + 5х₂ 35

9х₁ + 4х₂ 36

х_1,2 0

х_1,2 Z