Примечания автора

¹ Я называю эту проблему мелкой, потому что считаю, что она легко решается посредством опровержения («релятивистского») учения, порождающего этот вопрос. (Поэтому ответ на него является отрицательным. См. Приложение к т. II моего «Открытого общества», включенного в четвертое издание 1962 года.)

² Эта точка зрения является частью «эссенциализма». См., например, мое «Открытое общество», гл. 2 и 11 или «Нищету истори-цизма», раздел 10.

³ Эту тенденцию можно объяснить тем, что теории тем более удовлетворительны, чем лучше их можно подтвердить независимыми свидетельствами. Теории должны быть широкими и точными для того, чтобы их можно было подтвердить взаимно независимыми свидетельствами.

⁴ Высказывание «Все животные равны, однако некоторые являются более равными, чем другие», дает прекрасный пример выражения, которое «бессмысленно» в техническом смысле Рассела и Витгенштейна, хотя далеко не бессмысленно в контексте «Скотного двора» Оруэлла. Любопытно, что позднее Оруэлл рассмотрел возможность создать и навязать язык, в котором утверждение «Все люди равны» было бы бессмысленно в техническом смысле Витгенштейна.

⁵ Поскольку Витгенштейн охарактеризовал свой собственный «Трактат» как бессмысленный (см. также следующее примечание), постольку он проводит различие, пусть неявное, между ценной или важной и пустой или неинтересной бессмыслицей. Однако это не затрагивает его главной идеи, которая здесь меня интересует, относительно того, что философских проблем не существует. (Обсуждение других идей Витгенштейна можно найти в примечаниях к моему «Открытому обществу», в частности, в прим. 26, 46, 51 и 52 к гл. 11.)

⁶ В нем сразу же можно заметить один недостаток: это учение само является философской теорией, претендующей на истинность и осмысленность. Возможно, это критическое замечание является слабым. На него можно ответить двумя способами. (1) Можно сказать, что данное учение действительно лишено смысла как учение, но не как деятельность. (Это позиция самого Витгенштейна, который в конце своего «Логико-философского трактата» говорит, что тот, кто понял его книгу, должен понять, что она бессмысленна, и отбросить ее как лестницу, по которой он поднялся и которая больше не нужна.) (2) Или же можно сказать, что данное учение является не фи-

лософским, а эмпирическим; что оно констатирует тот исторический факт, что все «теории», предложенные философами, на самом деле нарушают правила грамматики; что они действительно не удовлетворяют правилам тех языков, на которых они сформулированы; что этот недостаток невозможно устранить; что всякая попытка их правильного выражения неизбежно ведет к утрате ими философского характера (и обнажает, например, их эмпирическую тривиальность или ложность). Эти два аргумента спасают, как мне представляется, данное учение от противоречия, и оно становится «неопровержимым» (в смысле Витгенштейна) — по крайней мере для такого рода критики, о котором здесь говорится. (См. также следующее примечание.)

⁷ Процитированные слова принадлежат не ученому-критику, а представляют собой оценку Гегелем натурфилософии его предшественника и друга Шеллинга. См. мое «Открытое общество», прим. 4 к гл. 12.

⁸ Витгенштейн все еще придерживался мнения о том, что философских проблем не существует, когда я видел его в последний раз (в 1946 г. он председательствовал на бурном заседании Клуба моральных наук в Кембридже, посвященном обсуждению моей статьи «Существуют ли философские проблемы?». Поскольку я не видел ни одной из его неопубликованных рукописей, ходивших по рукам его учеников, я не знаю, в какой мере изменилось то, что здесь я называю его «учением». Однако в этой, наиболее фундаментальной и влиятельной части его концепция, как мне представляется, не изменилась.

⁹ См. прим. 51 (2) к гл. 11 моего «Открытого общества».

ul ю я имею в виду недавнее построение Г. Крайзелем (Journal of Symbolic Logic, 17, 1952, 57) монотонной последовательности рациональных чисел, каждый член которой можно реально вычислить, но у которой нет вычислимого предела. Это по-видимому противоречит интерпретации классической теоремы Больцано—Вейерштрасса, но отвечает сомнениям Брауэра относительно этой теоремы.

^10а После того как эта статья была опубликована, Шредингер говорил мне, что не помнит об этом и не думает, что мог бы сказать такое, однако само высказывание ему понравилось. (Добавление 1964 года: потом я обнаружил, что это высказывание принадлежит моему старому другу Францу Урбаху.)

¹¹ До того, как Макс Борн предложил свою знаменитую вероятностную интерпретацию, уравнение Шредингера кое-кто мог бы счесть бессмысленным. (Однако я так не думаю.)

¹² Любопытно, что подражатели всегда склонны верить в то, что «мастер» выполнил свою работу с помощью секретного метода или приема. Известно, что во времена И.С. Баха некоторые музыканты были убеждены в том, что у него имеется секретная формула построения фуги.

Интересно также заметить, что все философские системы, пользовавшиеся популярностью (насколько я могу судить), открывали своим сторонникам некий метод достижения философских результатов. Это верно для гегелевского эссенциализма, который обучает своих приверженцев создавать произведения о сущности, природе или идее всего, чего угодно, — души, универсума или Универсального; это верно и для феноменологии Гуссерля, для экзистенциализма, а также для анализа языка.

¹³ Я имею в виду замечание проф. Гилберта Райла, который на с. 20 своей работы «Понятие сознания» говорит: «Прежде всего, я пытаюсь привести в порядок свою собственную систему». (Райл Г. Понятие сознания. М, 2000.)

¹⁴ Уже в своей «Логике научного исследования» 1934 г. я указывал на то, что, например, теорию Ньютона можно интерпретировать либо как фактуальную, либо как состоящую из неявных определений (в смысле Пуанкаре и Эддингтона), и что принимаемая физиком интерпретация выражается не столько в том, что он говорит, сколько в его отношении к проверкам его теории. Я указывал также на то, что существуют неаналитические теории, которые непроверяемы (следовательно, не являются a posteriori), но оказывают большое влияние на науку. (Примерами могут служить первоначальная атомная теория или ранняя теория действия посредством контакта.) Такие непроверяемые теории я назвал «метафизическими» и утверждал, что они не являются бессмысленными. Упомянутая в тексте простая дихотомия недавно была подвергнута критике с очень разных сторон Ф. Хейне-маном (Proc. of the X^,h Intern. Congress of Philosophy, Fasc. 2, 629, Amsterdam, 1949), У. Куайном и Мортоном Уайтом. Опять-таки можно заметить, что данная дихотомия в ее точном смысле применима только к формализованным языкам, следовательно, она непригодна для тех языков, которыми мы должны пользоваться до всякой формализации, т.е. для тех языков, в которых сформулированы все традиционные философские проблемы.

¹⁵ В своей книге «Открытое общество и его враги» я пытался выявить другие внефилософские — политические — корни этого учения. Я рассмотрел там (в примечании 9 к гл. 6 исправленного 4-го издания 1962 г.) также и ту проблему, которой мы занимаемся в данном разделе, хотя под несколько иным углом зрения. Указанное примечание несколько пересекается с настоящим разделом, но в значительной мере они дополняют друг друга. Важные ссылки (особенно на Платона), опущенные здесь, можно найти в этом примечании.

¹⁶ Некоторые историки отрицают, что термин «наука» применим к построениям, возникшим до шестнадцатого или даже до семнадцатого столетия. Однако если оставить в стороне споры относительно обозначений, сегодня, я полагаю, уже нет никаких сомнений в существовании удивительного сходства, если не сказать «тождества», це-

лей, интересов, деятельности, способов рассуждения и методов, скажем, Галилея и Архимеда, Коперника и Платона, Кеплера и Аристарха («Коперника античности»). Всякие сомнения относительно глубокой древности научного наблюдения и тщательных вычислений, опирающихся на наблюдение, были рассеяны благодаря обнаружению новых данных по истории древней астрономии. Теперь мы можем провести параллели не только между Тихо и Гиппархом, но даже между Хансеном (Hansen) (1857) и Киденом Халдейским (314 н.э.), чьи вычисления «констант для движения Солнца и Луны» сравнимы по точности с вычислениями лучших астрономов девятнадцатого века. «Оценки Кидена хотя и уступают оценкам Броуна, все-таки точнее по крайней мере одной из ныне принятых оценок», — писал Дж.К. Фотрингам в 1928 году в своей прекрасной статье The Indebtedness of Greek to Chaldean Astronomy (The Observatory, 1928, 51, n. 653), на которую и опирается мое суждение о древности вычислительной астрономии.

¹⁷ Если верить известному описанию Аристотеля в «Метафизике».

¹⁸ Платоновское разграничение (episteme — doxa) через Пармени-да восходит к Ксенофану (истина — предположение или кажимость). Платон ясно осознал, что все знание видимого, изменчивого мира явлений представляет собой doxa, что оно заражено неопределенностью даже в том случае, если использует episteme — знание неизменных «форм» и чистой математики, и даже если интерпретирует видимый мир с помощью теории невидимого мира. См. «Кратил», 439Ь, «Государство», 476d и особенно «Тимей», 29Ь, где это разделение применяется к тем частям собственной теории Платона, которые сегодня мы назвали бы «физикой» или «космологией» или, еще более широко, «естествознанием». Они принадлежат, говорит Платон, к области doxa (несмотря на то что наука = scientia = episteme; см. мои замечания об этой проблеме в гл. 20 ниже). Об иной точке зрения на отношение Платона к Пармениду см.: Sir David Ross, Plato's Theory of Ideas, Oxford, 1951, p. 164.

¹⁹ Карл Рейнгардт в своем «Пармениде» (1916; второе издание 1959 г., с. 220) высказывается весьма убедительно: «История философии есть история ее проблем. Если вы хотите объяснить творчество Гераклита, сначала скажите, какие проблемы перед ним стояли». Я с этим полностью согласен, но в отличие от Рейнгардта считаю, что проблемой Гераклита была проблема изменения — точнее говоря, проблема самотождественности (и нетождественности) изменяющейся вещи в процессе изменения. (См. также мое «Открытое общество», гл. 2.) Если согласиться с мнением Рейнгардта о наличии тесной связи между Гераклитом и Парменидом, то при таком понимании проблемы Гераклита система Парменида становится попыткой решить проблему парадоксов изменения за счет признания изменений нереальными. В отличие от этого Корнфорд и его сторонники следуют (161:) концепции Барнета, согласно которой Парменид был просто (инакомыслящим) пифагорейцем. Вполне может быть, что это верно, однако свидетельства в пользу этой концепции не говорят о том, что он не мог одновременно быть также учеником ионийцев. (См. также гл. 5 ниже.)

²⁰ См. Платон. Теэтет, 181а и Секст Эмпирик. Против математиков (Веккег), X. 46, р. 485, 25.

²¹ Это можно увидеть из книги Эмиля Мейерсона «Тождество и реальность» — одного из наиболее интересных философских исследований развития физических теорий. Гегель (следуя Гераклиту, или представлению о нем Аристотеля) истолковал факт изменения (которое он считал внутренне противоречивым) доказательством существования противоречий в мире и, следовательно, ниспровержением «закона непротиворечия», т.е. принципа, гласящего, что наши теории любой ценой должны избегать противоречий. Гегель и его последователи (в частности, Энгельс, Ленин и другие марксисты) видели «противоречия» везде и во всем, а все философские системы, сохранявшие закон противоречия, обвиняли в «метафизичности», подразумевая под этим термином игнорирование изменчивости мира. (См. гл. 15 ниже.)

²² Переход от существования движения к существованию пустоты логически некорректен, ибо и переход Парменида от заполненности мира к невозможности движения неверен. По-видимому, Платон первым осознал, хотя и смутно, что в заполненном мире возможно круговое или вихревое движение при условии, что в мире существует некая жидкая среда. (В чашке чая чаинки движутся вместе с жидкостью.) Эта идея, впервые нерешительно высказанная в «Тимее» (где пространство «заполнено», 52е), становится основой картезианства и теории «светоносного эфира», удержавшейся до 1905 года. (См. также прим. 44 ниже.)

²³ Теория Демокрита допускала также атомы большой величины, однако подавляющее большинство его атомов было ничтожно мало.

²⁴ См.: «Нищета историцизма», разд. 3.

²⁵ Под влиянием платоновского «Тимея», 55, где потенции элементов объясняются с помощью геометрических свойств (следовательно, субстанциальных форм) соответствующих тел.

²⁶ Бесплодность «эссенциалистской» (см. прим. 2 выше) теории субстанции обусловлена ее антропоморфизмом, поскольку доверие к субстанциям (как заметил Локк) вытекает из опыта самотождественного, но изменяющегося и проявляющего себя индивида. Вместе с тем, хотя можно радоваться тому, что субстанция Аристотеля была устранена из физики, нет ничего ошибочного, как заметил проф. Хайек, в антропоморфном представлении о человеке, и нет философских или каких-либо априорных причин для ее устранения из психологии.

²⁷ См. прим. к 6 гл. 3 ниже.

²⁸ См.: Демокрит. Фрагменты, фрагмент 11 (см.: Анаксагор, фрагмент 21, а также фрагмент 7).

²⁹ См.: Секст Эмпирик. Против математиков (Веккег), VII, 140, р. 221, 23Ь.

³⁰ «Релятивистскими» в смысле философского релятивизма, например, учения Протагора о homo mensura*. К сожалению, до сих пор еще приходится обращать внимание на то, что теория Эйнштейна не имеет ничего общего с этим философским релятивизмом.

«Позитивистские» тенденции можно встретить у Бэкона, в теории (к счастью, не в практике) Королевского общества, у Маха (выступавшего против атомной теории) и теоретиков чувственно данного.

³¹ См.: Diets, фрагмент 155, который можно интерпретировать в духе Архимеда (ed. Heiberg) II², p. 428f. См. важную статью: S. Luria, Die Infinitesimalmethode der antiken Atomisten (Quellen & Studien zur Gesch. D. Math., B. 2, Heft 2, 1932, p. 142.)

³² См.: A. March, Natur und Erkenntnis, Vienna, 1948, p. 193f.

³³ См.: S. Luria, op. cit., esp. pp. 148, 172. Мисс А.Т. Николе в статье Indivisible Lines (Class. Quarterly, XXX\ 1936, 120f.) утверждает, что два отрывка — один из Плутарха, а другой из Симплиция — показывают, почему Демокрит «не мог бы верить в неделимые размеры». Однако она не рассматривает точки зрения Луриа, высказанной в 1932 г., которая представляется мне гораздо более убедительной, тем более если помнить о том, что Демокрит стремился ответить Зенону (см. следующее примечание). Но как бы то ни было, Платон, по-видимому, считал, что атомизм Демокрита требует пересмотра в свете открытия иррациональности. Правда, Хит (Heath) (Greek Mathematics, I, 1921, p. 181 со ссылками на Симплиция и Аристотеля) также считает, что Демокрит не мог говорить о существовании неделимых расстояний.

³⁴ Этот исходный пункт для ответа был сохранен Аристотелем в работе «О возникновении и уничтожении», 316а, 14. Этот важный отрывок впервые был идентифицирован как принадлежащий Демокриту И. Хаммером Йенсеном в 1910 году и тщательно проанализирован Луриа, который говорит (op. cit., p. 135) о Пармениде и Зеноне: «Демокрит заимствовал их аргументы, однако пришел к противоположному выводу».

³⁵ См.: G.H. Hardy and E.M. Wright, Introduction to the Theory of Numbers, 1938, pp. 39, 42, где можно найти весьма интересное историческое замечание о доказательстве Феодора, представленного в «Теэ-тете» Платона. См. также статью: А. Wasserstein, Theaetetus and the History of the Theory of Numbers. — Classical Quarterly, 8, n. 5, 1958, pp.

* Буквально: «человек измеряющий (лат.). Речь идет об известном тезисе Протагора: «Человек есть мера всех вещей». — Примеч. пер.

165— 79, содержащую лучшее из известных мне рассмотрений данной темы.

³⁶ А не «Об иррациональных отрезках и атомах», как я перевел в прим. 9 к гл. 6 моего «Открытого общества» (второе издание). Это название лучше было бы передать (рассматривая отрывок из Платона, упоминаемый в следующем примечании) как «О безумных отрезках и атомах». См.: Н. Vogt, Bibl. Math., 1910, 10, /47(против которого выступает Хит, op. cit., 156 и далее, но, как мне представляется, не вполне удачно), и S. Luria, op. cit., pp. 168, который убедительно доказывает, что в работах Аристотеля (De insec. lin., 968b 17) и Плутарха (De comm. Notit., 38, 2, p. 1078f.) имеются следы произведения Демокрита. Согласно этим источникам, Демокрит рассуждал следующим образом. Если отрезки бесконечно делимы, то они должны состоять из бесконечного числа единиц и, следовательно, все они соотносятся как оо: оо, т.е. все они «несопоставимы» (не имеют пропорций). В самом деле, если отрезки рассматривать как классы точек, то — согласно современным представлениям — кардинальное «число» (мощность) точек какого-либо отрезка будет одним и тем же для всех отрезков независимо от их конечности или бесконечности. Этот факт был назван «парадоксальным» (например, Больцано) и вполне мог быть оценен как «безумный» Демокритом. Можно заметить, что по мнению Брауэра даже классическая теория континуума приводит, по сути дела, к тем же результатам. Брауэр утверждает, что всякий классический континуум обладает нулевой мерой, так что отсутствие рациональности выражается здесь соотношением 0:0. Результат Демокрита (и его теория ameres) был неизбежен для геометрии, опиравшейся на пифагорейский арифметический метод, т.е. на подсчет точек.

³⁷ Это согласуется с фактом, упомянутым в примечании, взятом из «Открытого общества», относительно того, что термин «alogos» лишь гораздо позже стал использоваться как синоним «иррационального» и что Платон, ссылающийся на название труда Демокрита («Государство», 534), употребляет термин «alogos» в смысле «безумный». Насколько мне известно, он никогда не употреблял его как синоним «arrhetos».

³⁸ Prodi Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. G. Friedlein, Leipzig, 1873, 7—21.

³⁹ См. Прокл, op. cit., pp. 428, 21-429, 8.

⁴⁰ История упоминает о некоем Гиппасе, фигуре достаточно туманной; говорят, он утонул в море (см. Diets, 4). См. также статью А. Вассерштейна, упомянутую в прим. 35 выше.

⁴¹ См. С. Луриа, в частности, о Плутархе, op. cit.

⁴² «Вторая аналитика», 76Ь9; «Метафизика», 983а20. См. также «Epinomis», 990d.

⁴³ Платон принимает теорию вихрей Демокрита (Diets, фрагмент 167, 164; См. Анаксагор, Diets (9 и 12, 13; см. также два следующих

примечания) и его теорию того, что сегодня мы назвали бы гравитационными явлениями (Diels, 164; Анаксагор, 12, 13, 15 и 2). Эта теория была несколько модифицирована Аристотелем и в конечном итоге отброшена Галилеем.

⁴⁴ Наиболее ясный отрывок находится в «Тимее», 80с, где говорится, что ни в случае с (натертым) янтарем, ни в случае с «гераклейским камнем» (магнитом) нет никакого реального притяжения; «пустоты не существует и вещи толкают друг друга». С другой стороны, у Платона нет ясности в этом вопросе, ибо его элементарные частицы (отличные от куба и пирамиды) не могут соединяться друг с другом без (пустого) пространства между ними, что отметил Аристотель в работе «О небе», 306Ь5. См. также примечание 22 выше (и «Тимей», 52е).

⁴⁵ Объединение Платоном атомизма и теории полноты (plenum) универсума («природа не терпит пустоты») играло важную роль в истории физики с древности до наших дней. Оно оказало большое влияние на Декарта, служило основой теории эфира и света и в конечном итоге через посредство Гюйгенса и Максвелла стало базисом волновой механики де Бройля и Шредингера. См. мой доклад в Atti d. Congr. Intern. Di Filosofla (1958), I960, pp. 367/.

⁴⁶ Исключение составляет новое появление арифметических методов в квантовой теории, например, в электронной теории периодической системы, опирающейся на принцип исключительности Паули; это обращение тенденции Платона к геометризации арифметики (см. ниже).

По поводу современной тенденции к «арифметизации геометрии» (которая никоим образом не характерна для всех современных работ в области геометрии) или анализа следует заметить, что она мало похожа на подход пифагорейцев, поскольку основным средством здесь являются множества или бесконечные последовательности, а не сами натуральные числа.

Только те ученые, которые принимают «конструктивистские», «финитистские» или «интуиционистские» методы в теории чисел — в противоположность теоретико-числовым методам, — могут претендовать на то, что их попытки свести геометрию к теории чисел напоминают идеи арифметизации пифагорейцев или до-платоников. Важный шаг в этом направлении сделан, по-видимому, совсем недавно немецким математиком Э. Де Ветте (Е. de Wette).

⁴⁷ Близкую оценку влияния Платона и Евклида см. в: G.F. Hemens, Proc. of the X^h Intern. Congress of Philosophy (Amsterdam, 1949), Fasc. 2, 847

⁴⁸ См. объяснение видимого мира Трои Гомером с помощью невидимого мира Олимпа. У Демокрита эта идея отчасти теряет свой теологический характер (который все еще сильно чувствуется у Парменида, но уже меньше — у Анаксагора), вновь обретает его у Платона и вскоре вовсе его лишается. (165:)

⁴⁹ См. прим. 27 выше и Анаксагор, фрагменты В4 и 17, Diels— Kranz.

⁵⁰ О процессе, благодаря которому эти треугольники отпечатываются в пространстве («мать») с помощью идей («отец»), см. мое «Открытое общество», прим. 15 к гл. 3, а также прим. 9 к гл. 6. Допуская иррациональные треугольники на свои небеса божественных форм, Платон допускает нечто «неопределенное» в смысле пифагорейцев, т.е. нечто, лежащее на «плохой» стороне таблицы оппозиций. Впервые возможность допущения «плохих» вещей была отмечена в «Пармениде», 130Ь—е; это замечание вложено в уста самого Парменида.

⁵¹ В последнем упомянутом примечании моего «Открытого общества».

⁵² Это означало бы, что все геометрические отрезки (величины) соизмеримы с одной из трех «мер» (или их суммой), относящихся как 1: 2: 3. По-видимому, Аристотель даже считал, что все геометрические величины соизмеримы с одной из двух мер, а именно, с 1 и 2. Он пишет («Метафизика», 1053а17); «Диагональ и сторона квадрата, а также все (геометрические) величины измеряются двумя (мерами)». (См. замечание Росса об этом отрывке.)

⁵³ В прим. 9 к гл. 6 моего «Открытого общества», упомянутого выше, я предположил также, что Платона к его ошибочной теории подтолкнуло приближение 2 + 3 к числу п.

⁵⁴ Эти две цитаты взяты из «Тимея», 53c/d и 54а/Ь.

⁵⁵ Я полагаю, наш анализ может пролить некоторый свет на проблему двух знаменитых «принципов» Платона — «Единица» («The One») и «Неопределенная диада» («The Indeterminate Dyad»). Предлагаемая ниже интерпретация развивает предположение ван дер Вейлена (Van der Wielen. De Ideegetallen van Plato, 1941, p. 132/.), которое превосходно защитил от собственной критики ван дер Вейлена Росс (Ross. Plato's Theory of Ideas, p. 201). Мы предполагаем, что «Неопределенной диадой» является прямая линия или расстояние, которые нельзя истолковать как единичное расстояние или что-то, имеющее измерение. Мы предполагаем, что точка (предел, monas, «Единица») последовательно помещается в такие положения, что для любого натурального числа п она разделяет диаду в отношении \\п. Тогда «образование» чисел мы можем описать следующим образом. Для п = 1 диада разделяется на две части в отношении 1:1. Это можно истолковать как «образование» Двойственности из Единичности (1:1 = 1) и диады, поскольку мы разделили диаду на две равные части. «Образовав» таким образом число 2, мы можем разделить диаду в отношении 1:2 и получить, таким образом, три равные части и число 3. В общем, «образование» числа п позволяет разделить диаду в отношении \.п и получить число п + 1. (На каждом этапе «Единица» выступает как точка, которая вводит предел, форму или меру в «неопределенную» диаду для создания нового числа. Это замечание может усилить по-

зицию Росса в споре с ван дер Вейленом. См. также статьи Теплица, Штенцеля и Беккера в Quellen & Studien z. Gesch. d. Math., 1, 1931. Однако ни в одной из них не говорится о геометризации арифметики, несмотря на использование геометрических фигур на с. 476.)

Теперь следует отметить, что хотя эта процедура «производит» (по крайней мере в первом примере) только последовательности натуральных чисел, тем не менее в ней содержится геометрический элемент — разделение линии сначала на две равные части, а затем на части согласно определенной пропорции \:п. Оба вида разделения требуют геометрических методов, а второй нуждается в теории пропорций Евдокса. Я предполагаю, что Платон стал спрашивать себя,

почему бы не разделять диаду в пропорции 1: V2 или 1: V5. Здесь он должен был почувствовать, что это было бы отходом от метода производства натуральных чисел, отходом от «арифметических» и принятием «геометрических» методов. Но вместо натуральных чисел это позволило бы «произвести» линейные элементы в пропорции 1: >/2 и 1:V3 и отождествить их с «атомными линиями» («Метафизика», 992а 19), из которых строятся атомные треугольники. В то же время характеристика диады как «неопределенной» стала в высшей степени подходящей, если учесть позицию пифагорейцев (см. Филолай, Diets, фрагменты 2 и 3) по отношению к иррациональности. (Возможно, выражение «великое и малое» стало постепенно заменяться выражением «неопределенная диада» после введения иррациональных пропорций в дополнение к рациональным.)

Если это верно, то мы могли бы предположить, что Платон постепенно приходил (начиная с «Гиппия Большого», т.е. задолго до «Государства», в противоположность мнению Росса, op. cit., p. 56) к осознанию того факта, что иррациональности являются числами, так как (а) они сравнимы с числами («Метафизика», 1021а4) и (б) натуральные числа и иррациональности «производятся» посредством сходных и по сути геометрических процессов. Как только это было осознано (впервые, по-видимому, в «Epinomis», 990-е; я думаю, это произведение принадлежит Платону, хотя это и не так важно), то даже иррациональные треугольники «Тимея» становятся «числами» (т.е. характеризуются числовыми, пусть даже иррациональными, пропорциями). Однако здесь важные идеи Платона и разница между его теорией и теорией пифагорейцев могли стать совершенно неразличимыми. Это объясняет, почему этой разницы не заметил даже Аристотель (который допускал и «геометризацию», и «арифметизацию»).

⁵⁶ Именно таково было мнение Аристотеля, как показал Луриа, op. cit.

⁵⁷ Он боялся, что может умереть, не закончив своего труда.

⁵⁸ См. письма Ньютона к Бентли, 1693. (См. прим. 20 к гл. 3 ниже.) (167:)

⁵⁹ Так называемая гипотеза Канта—Лапласа, опубликованная Кантом в 1755 г.

⁶⁰ Конечно, высказывались вполне справедливые критические замечания (в частности, Лейбницем и Беркли), однако перед лицом успехов теории казалось (и, я думаю, правильно), что критика бьет мимо цели. Не следует забывать, что и в наши дни эта теория с небольшими модификациями все еще сохраняется в качестве превосходного первого приближения (или, если учесть Кеплера, в качестве второго приближения).

⁶¹ Кант говорит здесь, что Ньютон создал «тот ясный и для всякого будущего неизменный взгляд на мироздание, который, как можно надеяться, при дальнейшем наблюдении всегда будет развиваться, но никогда — этого бояться не надо — не будет деградировать». — Иммануил Кант. Критика практического разума. СПб., Наука, 1995, с. 258.

⁶² Еще в 1909 г. этот вопрос сильно беспокоил Пуанкаре.

⁶³ Главное требование, которому должна удовлетворять любая адекватная теория познания, заключается в том, что она не должна объяснять слишком много. Любая внеисторическая теория, объясняющая, почему было сделано то или иное открытие, должна потерпеть крушение, ибо невозможно объяснить, почему это открытие не было сделано раньше.

⁶⁴ В свете примечания 63 ни одна теория не может объяснить, почему наш поиск объяснительных теорий оказывается успешным. Успешное объяснение должно обладать нулевой вероятностью, если измерять вероятность посредством отношения «успешных» объяснительных гипотез ко всем гипотезам, которые способен изобрести человек.

⁶⁵ Идея такого «ответа» была развита мной в «Логике» (1935, 1959 и более поздних изданиях).

⁶⁶ См. примечание 61 и текст выше.

⁶⁷ См. мое «Открытое общество», прим. 58 к гл. 12. (168:)