Дифференцирование неявной функции.

 

а) Пусть дано уравнение, связывающее две переменные х и у. Если все члены этого уравнения перенести в левую часть, то оно будет иметь вид

(1)

Уравнение (1) вообще говоря, определяет одну или несколько функций . Например, уравнение определяет одну функцию , а уравнение определяет две функции и .

Если в рассмотренные уравнения вместо у подставить найденные функции, то они обратятся в тождества.

 

Определение: Всякая непрерывная функция , обращающая уравнение в тождество, называется неявной функцией, определяемой уравнением .

Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Так уравнение не удовлетворяет ни одной паре действительных чисел и, следовательно, не определяет неявную функцию. Сформулируем условия, при которых уравнение определяет неявную функцию .

Пусть дано уравнение (1)

б) Теорема существования неявной функции.

Если функция и её частные производные и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при этом , а , то уравнение определяет в этой окрестности точки единственную неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку , причём .

Геометрически это означает, что в окрестности точки кривая представляет собой график непрерывной и дифференцируемой функции .

в) Производная неявной функции.

Пусть левая часть уравнения удовлетворяет условиям, указанным в теореме, тогда это уравнение определяет неявную функцию , для которой в окрестности точки имеет место тождество относительно х: . Тогда , при любом х из окрестности х₀.

По правилу дифференцирования сложной функции

и, значит, .

Отсюда

или (2)

По этой формуле находится производная неявной функции (одной переменной ).

Пример: х³+у³-3ху=0

Имеем х³+у³-3ху, = 3х²-3у = 3у²-3х

 

= - .

Обобщим понятие неявно заданной функции на случай функции нескольких переменных.

Уравнение (3) определяет неявно заданную функцию , если эта функция непрерывна и обращает уравнение в тождество, т.е. (4).

Условия существования и единственности неявно заданной функции формулируются аналогично.

Найдём и :

= -

= -

Пример:

2х

2у

Тогда

= - ; = - .