Теоремы сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(AB).

Теорема (для несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

✓ Теорема справедлива для любого конечного числа несовместных событий A₁, A₂, …, A_n:

Из этой теоремы следует формула для противоположных событий A и :

Р(А)+Р() = 1

Пример. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке
расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность
того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Решение (первый способ). Требование - хотя бы один из
взятых учебников в переплете - будет осуществлено, если
произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В -
один учебник в переплете, С - два учебника в переплете, D - три
учебника в переплете.

Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А=A+C+D. По теореме сложения,

Р(А) =Р(В) +Р(С) +P(D) (1)

Найдем вероятности событий В, С и D.

Подставив эти вероятности в формулу (1) окончательно получим:

Р(А)=45/91+20/91+2/91=67/91.

Решение (второй способ). События А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и (ни один из взятых трех учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому Р(А)+Р() = 1. Отсюда Р(А)=1–Р(). Таким образом, искомая вероятность Р(А)=1 – = 1 - 24/91= 67/91