Пример. Выполнил ст. гр.ДС15-3 Метляева Н.

 

Выполнил ст. гр.ДС15-3 Метляева Н.

Принял доц. Стерехова Г.А.

 

 

2007 г.

 

Пример.

Построить эпюры прогибов и усилий для прямоугольной пластины с размерами в плане 6х4м (рис.1), загруженной поперечной нагрузкой Р=10кН, q=20 кНм. Условия опирания:стороны АD и ВС жестко защемлены, АВ и СD – шарнирно оперты Материал бетон марки М200:Е=0,2*10⁵ МПа, μ=0,17, цилиндрическая жесткость D=E*h³/12(1-μ²)=878,7 кНм.

 

 

 

		λ
	Рис.1

Рис.2

Решение

Выбор расчетной схемы

- пластинку заменяем совокупностью точек, расположенных в узлах квадратной сетки с шагом λ=1м;

- узлы сетки пронумеруем с учетом симметрии (рис.2)

- неизвестны прогибы в узлах 1,2,3,4 в точках на контуре(линии AB,CD,BC,AD) и на оси косой симметрии (линия EF) прогибы известны – равны нулю

2. Составление системы уравнений.

Составляем уравнениe Софи Жермен

(d⁴W/dx⁴+2d⁴W/dx²dy²+d⁴W/dy⁴=q_z/D)

в конечно разностном виде для внутри контурных узлов (1,2,3,4) используя шаблон(рис.3)

В=q*λ⁴/D - правая часть уравнения

 

Сосредоточенную силу в узле 3

Заменяем распределенной нагрузкой

в пределах шага сетки интенсивностью q_z=P/λ²,

Рис.3

следовательно, правая часть уравнения для узла 3. ………………………………………..примет вид Рλ²/D

 

 

 

 

20W1-8(W2+W3)+2W4+W1=qz*λ⁴/D

20W2-8(W1+W4)+2W3+W2=qz*λ⁴/D

20W3-8(2W1+W4)+4W2-W3=P*λ²/D

20W4-8(2W2+W3)+4W1-W4=0

 

Проверяем симметрию матрицы единичных коэффициентов: если уравнения 3 и 4 домножить на 0,5 – матрица будет приведена к симметричному виду.

3. Решаем систему уравнений с помощью ЭВМ по стандартной программе

Результаты решения: прогибы в точках пластины W1=3.607/D, W2=3.435/D, W3=4.545/D, W4=4.047/D.

Проверка правильности полученного решения

 

Система уравнений решена правильно.

 

 

 

 

	Рис.4

 

 

4. Вычисляем усилия в точках пластины.

Изгибающите моменты Мх,Му,крутящий момент Мху и поперечные силы Qx, Qy определяем используя конечно разностные аналоги зависимости усилий от прогибов в виде шаблонов

Mx=-D(d²W/dx²+μd²W/dy²); My=-D(d²W/dx²+ μd²W/dy²);

 

 

 

 

 

Значения изгибающих моментов Мх в точках пластины (кНм/м) Табл.1

 

	-1,17	-1,23		1,23	1,17
	3,74	4,23		-4,23	-3,74
	3,75	5,36		-5,36	-3,75
	3,74	4,23		-4,23	-3,74
	-1,17	-1,23		1,23	1,17

м/м)

 

 

Значения изгибающих моментов Му в точках пластины (кНм/м) Табл.2

 

 

	-6,87	-7,21		7,21	6,87
	3,38	3,31		-3,31	-3,38
	1,83	2,73		-2,73	-1,83
	3,38	3,31		-3,31	-3,38
	-6,87	-7,21		7,21	6,87

 

 

 

 

Рис.6

Рис.5

 

		определим значения крутящих моментов по шаблону

 

 

1,68	0,94	-0,84	-1,89	-0,84	0,94	1,68
-1,68	-0,94	0,84	1,89	0,84	-0,94	-1,68

 

 

 

 

	Рис.7

 

 

 

 

	-3,607	3,435	7,214	3,435	-3,607
Rx(b)=-8,42	3,22	-3,04	-6,45	-3,04	3,22
Rx(a)=-5,78	3,46	-2,39	-6,92	-2,38	3,46
Rx(b)=-8,42	3,22	-3,04	-6,45	-3,04	3,22
	-3,607	3,435	7,214	3,435	-3,607

 

		Рис.8
		Рис.9
		Значения поперечных сил Qy (кН/м). Табл.5

 

	Ry(d)=--16,2	Ry(e)=1-7,4	Ry(f)	Ry(e)	Ry(d)
	-5,82	-7,07		7,07	5,82
	5,82	7,07		-7,07	-5,82
	Ry(d)=-1-6,2	Ry(e)=--17,4	Ry(f)	Ry(e)	Ry(d)

 

 

 

μ

 

		Рис.6

 

 

 

 

РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЛУЧЕННЫЕ ПО ПРОГРАММЕ EXCEL

 

Прогибы точек пластины (множитель1/D)

 

	0	3,435	3,607		-3,607	-3,435
-3,435		3,435	3,607		-3,607	-3,435
-4,047		4,047	4,545		-4,545	-4,047
-3,435		3,435	3,607		-3,607	-3,435
		3,435	3,607		-3,607	-3,435

Изгибающие моменты силы Мх

 

	-1,1679	-1,22638		1,22638	1,1679
	3,74291	4,23273		-4,23273	-3,74291
	3,75708	5,36192		-5,36192	-3,75708
	3,74291	4,23273		-4,23273	-3,74291
	-1,1679	-1,22638		1,22638	1,1679
Изгибающие моменты силы Му
	3,37771	3,31143		-3,31143	-3,37771
	1,82733	2,73331		-2,73331	-1,82733
	3,37771	3,31143		-3,31143	-3,37771
	-6,87	-7,214		7,214	6,87

 

 

1,679505	0,943088	-0,83975	-1,88618	-0,83975	0,943088	1,679505
-1,67951	-0,94309	0,839753	1,886175	0,839753	-0,94309	-1,67951

 

		Поперечные силы Qx
	-3,607	3,435	7,214	3,435	-3,607
-8,42909	3,224	-3,043	-6,448	-3,043	3,224	-8,429
-5,78892	3,4595	-2,3865	-6,919	-2,3865	3,4595	-5,7889
-8,42909	3,224	-3,043	-6,448	-3,043	3,224	-4,2145
	-3,607	3,435	7,214	3,435	-3,607

 

		Поперечные силы Qy
	-16,2	-17,4		17,44	16,22
	-5,8215	-7,0665		7,0665	5,8215
	-4,4E-16	-2,2E-16		2,22E-16	4,44E-16
	5,8215	7,0665		-7,0665	-5,8215
	-16,2	-17,4		17,2	16,22

 

	Опорные реакции
6,28805	-16,2	-17,4		17,44	6,28805
-8,4291					-8,4291
-5,7889					-5,7889
-8,4291	-16,2	-17,4		17,44	-8,4291

 

ФГОУ ВПО «Сибирский Федеральный университет» Институт градостроительства, управления и региональной экономики

 

 

Кафедра СМиУК

 

Дисциплина: Теория упругости

Расчетно-проектировочное задание №2