Оператор энергии и уравнение Шредингера

 

Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:

.

Частота , длина волны, - скорость света в вакууме.

= + = ,

 

= .

 

= - формула Бальмера,

 

определяет длины волн в спектре атома водорода.

= 1,1∙10⁷ м^-1 - постоянная Ридберга.

и - номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.

 

Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением в УФ области спектра (серия линий Лаймана),

 

переходы на уровень с = 2 приводят к линиям в видимой области (серия Бальмера),

 

переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению в ИК области.

 

 

Теория Бора не смогла объяснить строение сложных атомов. Для объяснения поведения микрочастиц была развита квантовая механика.

 

Она основана на том, что любая микрочастица, наряду с корпускулярными, обладает также волновыми свойствами (гипотеза де Бройля).

 

Для фотона, импульс

.

По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны

 

,

 

- длина волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.

 

Принцип неопределенностей.

Оператор энергии и уравнение Шредингера

В классической механике полная энергия системы описывается функцией Гамильтона

По второму постулату, оператор полной энергии будет записываться как

или

Этот оператор называют оператором Гамильтона или гамильтонианом.

Если Е – точное значение энергии системы в данном состоянии y, то по третьему постулату

,

откуда

или

Мы вновь пришли к знакомому уравнению Шредингера.

Для системы из нескольких частиц гамильтониан записывается в виде:

,

где – оператор Лапласа для i -й частицы, а энергия U чаще всего зависит от взаимного расположения всех частиц. В случае кулоновского взаимодействия (именно его приходится рассматривать в молекулах в отсутствие внешних полей)

Поэтому записать уравнение Шредингера для молекулы, например, воды, несложно. Другое дело, что с ним делать потом.

Напомним, что мы уже доказывали, что операторы составляющих импульса эрмитовы. Можно показать, что самосопряженными будут и их квадраты. Таким образом, самосопряженным будет и оператор Гамильтона, а значит, его собственное значение Е всегда действительно.