CELLS статистики смещения частот

Реализованные в параметре CELLS статистики позволяют провести более сложный анализ связи переменных. Например, в таблице 3.4 можно увидеть, что среди считающих, что иностранная помощь не нужна, 12% готовы отдать острова Японии, а среди считающих, что помощь нужна - их 37%. В то же время, в целом по совокупности 15% готовы передать острова. Существенны ли отличия от долей в целом по совокупности на 3% и 22%? Может ли в следующем обследовании связь оказаться противоположной? Основой для исследования смещения выборки от истинного распределения служат значения, ожидаемые в случае независимости выборки. Подпараметр EXPECTED параметра CELLS позволяет вывести в клетках абсолютные значения частот (N_ij), ожидаемых в случае независимости соответствующих клетке значений переменных. Отклонение (N_ij - E_ij) наблюдаемой частоты от ожидаемой - более удобная величина для анализа: она достаточно наглядна, но неясно, насколько она статистически значима.

Более полезна статистика Z_ij =(N_ij - E_ij)/ σ_ij - стандартизованное смещение частоты; Z_ij выдается в клетке при указании подпараметра ASRESID (Adjusted residuals). Иными словами, Z_ij представляет собой отклонение наблюдаемой частоты от ожидаемой, измеренное в числе стандартных отклонений. При этом стандартное отклонение вычисляется исходя из предположения, что N_ij это случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение:

Если переменные независимы, то, при больших N, случайная величина Z_ij имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Для нее практически невероятно отклонение, большее трех стандартных отклонений, т.к. вероятность такого значения составляет менее 0.0027 (правило "трех сигм"). Поэтому, если мы получаем значение Z_ij, превышающее 3, то можем считать, что i -ое значение и j -ое значения X и Y связаны. На практике нередко, когда анализируетсся единственная клетка таблицы, выставляются более слабые требования. Существенными считаются односторонние отклонения, которые превышают 1,65σ_ij - вероятность их получения составляет 5%. Таким образом, начиная с отклонения 1,65σ_ij и большего, можно уже высказывать гипотезу о существовании связи между значениями (см. таблицу нормального распределения в любом статистическоим справочнике). Эмпирическим критерием, когда распределение Z_ij близким к нормальному, следует считать является соотношение для дисперсии . Хотя последнее ограничение достаточно жестко.

Следует заметить, что в действительности мы имеем дело с множеством статистик значимости и, при переборе их, велика вероятность случайно получить их значения, превышающие указанные пороги. Если бы клетки были независимы, при критическом значении статистики Z_ij, равном 1.96 (5% уровень значимости) мы в среднем в условиях независимости данных находили бы 5 "значимых" из 100 клеток таблицы, а хотя бы одну статистику, Z_ij >1.96 мы можем получить с вероятностью (1-0.95¹⁰⁰)=0.9941! Поэтому сложившаяся практика руководствоваться отклонением 1.65 σ_ij оберегает нас только от грубейших ошибок.

Таблица 3.5. Связь "Точки зрения на иностранную помощь" и "Возможностью удовлетворить территориальные требований Японии" (статистики смещений частот)

Величина SRESID - стандартизованное изменение частоты по сравнению с ожидаемым (N_ij - E_ij)/ - связана с распределением Пуассона. Напомним, что распределение Пуассона - это распределение числа успехов для редко случающихся событий при большом числе испытаний. Если попадание наблюдения в клетку (i,j) считать этим редким событием, то ожидаемое значение можно считать оценкой параметра распределения Пуассона. Дисперсия распределения Пуассона совпадает с его математическим ожиданием, отсюда (N_ij - E_ij)/ также отклонение, вычисленное в числе дисперсий. Это отклонение при больших ожидаемых частотах также асимптотически нормально.

Пример. Определим зависимость между отношением к получению иностранной помощи и "Возможностью удовлетворить территориальные требований Японии":

CROSSTABS /TABLES=v1 BY W4/CELLS=COUNT expected resid asresid.

Так как в CELLS указан параметр COUNT, expected, resid и asresid, то в клетках выведены реальные и ожидаемые значения, а также абсолютная разность расчетной частоты от ожидаемой, и затем эта же разность, но в числе стандартных отклонений.

В таблице 3.5 получен ответ на поставленный в начале раздела вопрос: смещение частоты в клетке "Отдать острова" - "Нужна помощь" (residual=16) оказалось существенным, Z=5.5, в то же время смещение частоты на 5.3 в клетке "помощь не нужна - отдать" - не значимо (Z=1.3). Кроме того, в полученной значимой связи можно еще раз убедиться, рассмотрев таблицу 6 с процентными распределениями (в среднем по совокупности 15% считают, что острова можно отдать, в то время как в этой группе таковых 37%!). В то же время, судя по статистикам, хотя видна отрицательная связь значений "нужна ограниченная помощь" - "отдать острова", она не достаточно значима.

Надеемся, что нам удалось показать, что эти статистики наиболее интересны для интерпретации. К сожалению, в SPSS расчет реализован без учета размеров выборки, что необходимо иметь в виду, так как для малых выборок эти вероятностные рассуждения оказываются неточными.