Ре­ше­ние. Про­из­ве­де­ние двух вы­ра­же­ний равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а дру­гое при этом не те­ря­ет смыс­ла:

Про­из­ве­де­ние двух вы­ра­же­ний равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а дру­гое при этом не те­ря­ет смыс­ла:

 

По­сколь­ку , то . По­это­му

Ответ: .

 

5. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

 

Вариант № 3742368

1. C 2. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро AA ₁=7. Точка K при­над­ле­жит ребру B ₁ C ₁ и делит его в от­но­ше­нии 8:3, счи­тая от вер­ши­ны B ₁. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и K.

Ре­ше­ние.

Пусть L — точка, в ко­то­рой плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро C ₁ D ₁. От­ре­зок KL па­рал­ле­лен диа­го­на­ли BD. Ис­ко­мое се­че­ние — тра­пе­ция BDLK (рис. 1). Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние по пря­мой BD, па­рал­лель­ной B ₁ D ₁, зна­чит, KL па­рал­лель­но B ₁ D ₁.

 

Тре­уголь­ни­ки LC ₁ K и D ₁ C ₁ B ₁ по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

 

 

Зна­чит,

 

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках DD ₁ L и BB ₁ K имеем зна­чит, тра­пе­ция BDLK рав­но­бед­рен­ная.

 

Пусть LH — вы­со­та тра­пе­ции BDLK, про­ведённая к ос­но­ва­нию BD (рис. 2), тогда:

 

 

 

Ответ:

2. C 2. Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

Ре­ше­ние.

При­мем ребро куба за Тогда Про­ведём через точку пря­мую, па­рал­лель­ную Она пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ребра в точке причём Ис­ко­мый угол равен углу (или смеж­но­му с ним).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

 

В тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

 

от­ку­да а тогда

Ответ: .

 

При­ме­ча­ние.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде:

 

 

3. C 2. Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да MABCD, рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны . Тан­генс угла между пря­мы­ми DM и AL равен , L — се­ре­ди­на ребра MB. Най­ди­те вы­со­ту дан­ной пи­ра­ми­ды.