Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации.

Признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: . Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений справедливо неравенство .

Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
В принципе, можно расписать и подробнее, указав, что неравенство выполняется для нескольких первых членов.

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму : . Если все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд . Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом , выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд – расходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже расходится.
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом : построить несколько неравенств и сделать вывод о справедливости неравенства .