Знаходження коренів рівняння методом ділення відрізку навпіл

Гарною вправою по роботі з електронною таблицею Star Office є програмування на робочому листі алгоритму знаходження кореня рівняння F(x) = 0 методом поділу відрізка навпіл. Нехай неперервна функція F(x) має значення різних знаків на кінцях відрізка [ а; b ], тобто F(a)F(b) < 0.

Тоді рівняння F(x)= 0має корінь усередині цього відрізка. Відрізок [ а; b ]називається відрізком локалізації кореня. Нехай с = (а + b)/ 2 — середина відрізка [ а; b ]. Якщо F(a)F(c) £ 0, то корінь знаходиться на відрізку [ а; с ], який беремо за новий відрізок локалізації кореня. Якщо F(a)F(c) > 0, то за новий відрізок локалізації кореня беремо [ с; b ]. Відзначимо, що новий відрізок локалізації кореня в два рази менше первісного. Процес розподілу відрізка для локалізації кореня продовжуємо доти, поки його довжина не стане менше ε, точності знаходження кореня. У цьому випадку будь-яка точка відрізка локалізації відрізняється від кореня не більше ніж на ε/2.

На рисунку 7 приведено результати знаходження кореня з точністю до 0.001 методом розподілу відрізка навпіл рівняння х² - 2 = 0. За первісний відрізок локалізації кореня обраний [0; 2].

Рисунок 7 - Знаходження кореня рівняння методом розподілу відрізка навпіл

Примітка

Насправді в діапазон C4:F4 не треба вводити формули з клавіатури. Просто виберіть діапазон C3:F3, розташуєте покажчик миші на маркері заповнення і протащіть його на один рядок нижче.

Для реалізації цього методу введіть у комірки робочого листа формули або значення (табл. 1).

Таблиця 1 - Формули для знаходження коренів рівняння

Комірка	Формула або значення
В1	0.001
A3
ВЗ
СЗ	=(А3+В3)/2
D3	=(А3^2-2)*(С3^2-2)
ЕЗ	=С3^2-2
F3	=ЕСЛИ(ВЗ-АЗ<$В$1;"Корінь знайдений і дорівнює " & ТЕКСТ(СЗ;"0.0000");"")
А4	=ЕСЛИ(D3<=0;АЗ;СЗ)
В4	=ЕСЛИ (D3<=0; СЗ; ВЗ)
С4	=(А4+В4)/2
D4	=(А4^2-2)*(С4^2-2)
Е4	=С4^2-2
F4	=ЕСЛИ(В4-А4<$В$1;"Корінь знайдений і дорівнює " & ТЕКСТ(С4; "0.0000");"")

 

Тепер залишилося тільки вибрати діапазон A4:F4, розташувати курсор миші на маркері його заповнення і протащити його вниз доти, поки в стовпці F не з'явиться повідомлення про те, що корінь знайдений. У даному випадку повідомлення з'явиться в комірці F14, а значення кореня з точністю до 0.001 дорівнює1.414.

На закінчення відзначимо, що в розглянутому прикладі використовувалися:

- Операція конкатенації рядків, що поєднує кілька рядків в одну. Операція конкатенація позначається символом амперсанда &. При об'єднанні двох рядків другий рядок додається безпосередньо в кінець першої. Результатом є рядок більшого розміру, що містить обидві вихідні рядки. Наприклад, "Andrey " & "Garnaev" дорівнює одному рядку "Andrey Garnaev". Зверніть увагу, що пробіл наприкінці першого рядка використовується для того, щоб у результуючій рядку відокремити перше слово від другого. Замість символу конкатенації можна також використовувати функцію СЦЕПИТЬ (CONCATENATE). Той же самий результат дає формула =СЦЕПИТЬ("Andrey ";"Garnaev"). Якщо значення Andrey введено в ячейку A1, а значення Garnaev — у комірку B1, то той же результат виходить формулою =СЦЕПИТЬ(А1;" ";B1) або =A1 & " " & B1.

- Функція робочого листа з категорії функцій по роботі з текстом ТЕКСТ (TEXT). Дана функція перетворить значення в текст у заданому числовому форматі.

Синтаксис функції ТЕКСТ: ТЕКСТ(значение; формат)

- значение — або числове значення, або формула, обчислення якої дає числове значення, або ссилка на комірку, що містить числове значення;

- формат — числовий формат із вкладки Число діалогового вікна Атрибуты ячейки,відображуваного на екрані вибором команди Формат | Ячейка. Формат не може містити зірочку * і не може належати до категорії Общий.

Приведемо три приклади роботи функції ТЕКСТ:

- ТЕКСТ(2.7153; "0.00 р.") повертає 2.72 р.

- ТЕКСТ(2.7153; "0.000") повертає 2.715

- ТЕКСТ("17.5.60"; "Д МММ,ГГГГ") повертає 17травень,1960