Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .

 

Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая является решением при каждом фиксированном С из некоторого множества М, и для любого решения существует такое значение С₁ из М, что = при любом х, т.е. любое решение получается из выбором соответствующего С.

Перечислим основные типы уравнений и укажем способы их решения:

1) дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными - это уравнение вида:

.

Решается это уравнение делением его обеих частей на и затем интегрированием;

2) однородное дифференциальное уравнение. Функция , называемая однородной степени , если для любого выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция - однородная нулевой степени. Такое уравнение заменой , где - новая неизвестная функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3) линейное уравнение. Дифференциальное уравнение вида

(2)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой: где и - новые неизвестные функции.

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем наше уравнение следующим образом:

; .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего равенства на получим:

;

Интегрируя обе части уравнения, получим:

 

; ;

 

;

Последнее равенство задает нам решение в виде неявной функции . Обратим внимание на то что, что не все решения задаются указанным равенством. При делении на могли быть потеряны решения и Очевидно (подставьте в уравнение), что является решением, а – нет. Итак, общее решение задается двумя формулами: и .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к следующему виду:

 

; .

Если правую часть последнего уравнения обозначить через , то

= = =

Следовательно, рассматриваемое уравнение является однородным.

Положим теперь , или ,тогда . Подставляя в уравнение выражения для у и , получим: ; ;

Разделяем переменные в последнем уравнении, деля его на , и интегрируем полученное равенство:

;

Отсюда , или .

Здесь мы вместо константы для удобства добавили константу . Заменяя на , получим решение:

Последнее равенство может давать не все решения, часть из них могли потеряться при разделении переменных (мы делили уравнение на ). Положим теперь и . Но не является решением уравнения, а из равенства получаем, что , или . Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции являются решениями. В нашем случае все решения задаются тремя формулами:

; и .

Пример. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение. Это линейное уравнение, поэтому его общее решение будем искать в виде . Тогда

Подставляя у и в уравнение, получим:

Функцию найдем из того условия, что выражение в скобке в последнем равенстве должно обращаться в ноль:

.

Последнее уравнение неявно задает две серии функций:

Так как нам достаточно взять какое-то частное решение, то положим

В этом случае наше уравнение перепишется так:

Учитывая, что получим общее решение уравнения