Студопедия — Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .






 

Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая является решением при каждом фиксированном С из некоторого множества М, и для любого решения существует такое значение С1 из М, что = при любом х, т.е. любое решение получается из выбором соответствующего С.

Перечислим основные типы уравнений и укажем способы их решения:

1) дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными - это уравнение вида:

.

Решается это уравнение делением его обеих частей на и затем интегрированием;

2) однородное дифференциальное уравнение. Функция , называемая однородной степени , если для любого выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция - однородная нулевой степени. Такое уравнение заменой , где - новая неизвестная функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3) линейное уравнение. Дифференциальное уравнение вида

(2)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой: где и - новые неизвестные функции.

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем наше уравнение следующим образом:

; .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего равенства на получим:

;

Интегрируя обе части уравнения, получим:

 

; ;

 

;

Последнее равенство задает нам решение в виде неявной функции . Обратим внимание на то что, что не все решения задаются указанным равенством. При делении на могли быть потеряны решения и Очевидно (подставьте в уравнение), что является решением, а – нет. Итак, общее решение задается двумя формулами: и .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к следующему виду:

 

; .

Если правую часть последнего уравнения обозначить через , то

= = =

Следовательно, рассматриваемое уравнение является однородным.

Положим теперь , или ,тогда . Подставляя в уравнение выражения для у и , получим: ; ;

Разделяем переменные в последнем уравнении, деля его на , и интегрируем полученное равенство:

;

Отсюда , или .

Здесь мы вместо константы для удобства добавили константу . Заменяя на , получим решение:

Последнее равенство может давать не все решения, часть из них могли потеряться при разделении переменных (мы делили уравнение на ). Положим теперь и . Но не является решением уравнения, а из равенства получаем, что , или . Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции являются решениями. В нашем случае все решения задаются тремя формулами:

; и .

Пример. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение. Это линейное уравнение, поэтому его общее решение будем искать в виде . Тогда

Подставляя у и в уравнение, получим:

Функцию найдем из того условия, что выражение в скобке в последнем равенстве должно обращаться в ноль:

.

Последнее уравнение неявно задает две серии функций:

Так как нам достаточно взять какое-то частное решение, то положим

В этом случае наше уравнение перепишется так:

Учитывая, что получим общее решение уравнения

 

 







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 382. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия