Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые ряды





 

Приведем признаки сходимости числовых рядов:

а) интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами. Если , где - убывающая непрерывная функция, то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно ( -некоторое число, );

б) признак Даламбера. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

в) признак Коши. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . В случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

г) первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого ), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

д) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды и сходятся или расходятся одновременно;

е) признак Лейбница. Ряд с чередующимися знаками сходится, если и .

Отметим еще необходимое условие сходимости ряда: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим интегральный признак. Ясно, что функция будет непрерывной при и убывающей, при этом .

Рассмотрим интеграл

.

Так как этот интеграл сходится, то сходится и ряд.

 

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Очевидно, что

, ,

тогда

т.к , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Для решения вопроса о сходимости этого ряда используем признак Коши

,

т.к. , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. = = =

т.к. , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Легко видеть, что для этого ряда , т.е. признак Даламбера не дает ответа на вопрос о его сходимости. Воспользуемся первым признаком сравнения. Так как

и ряд сходится (см. сходимость обобщенного гармонического ряда ), то и наш ряд сходится.

Можно было бы воспользоваться вторым признаком сравнения. Сравним наш ряд с тем же рядом . Так как = =1

то из сходимости ряда следует сходимость нашего ряда.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 417. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия