Студопедия — Числовые ряды
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые ряды






 

Приведем признаки сходимости числовых рядов:

а) интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами. Если , где - убывающая непрерывная функция, то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно ( -некоторое число, );

б) признак Даламбера. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

в) признак Коши. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . В случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

г) первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого ), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

д) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды и сходятся или расходятся одновременно;

е) признак Лейбница. Ряд с чередующимися знаками сходится, если и .

Отметим еще необходимое условие сходимости ряда: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим интегральный признак. Ясно, что функция будет непрерывной при и убывающей, при этом .

Рассмотрим интеграл

.

Так как этот интеграл сходится, то сходится и ряд.

 

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Очевидно, что

, ,

тогда

т.к , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Для решения вопроса о сходимости этого ряда используем признак Коши

,

т.к. , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. = = =

т.к. , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Легко видеть, что для этого ряда , т.е. признак Даламбера не дает ответа на вопрос о его сходимости. Воспользуемся первым признаком сравнения. Так как

и ряд сходится (см. сходимость обобщенного гармонического ряда ), то и наш ряд сходится.

Можно было бы воспользоваться вторым признаком сравнения. Сравним наш ряд с тем же рядом . Так как = =1

то из сходимости ряда следует сходимость нашего ряда.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 386. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия