Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Числовые ряды





 

Приведем признаки сходимости числовых рядов:

а) интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами. Если , где - убывающая непрерывная функция, то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно ( -некоторое число, );

б) признак Даламбера. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

в) признак Коши. Пусть (начиная с некоторого члена ряда) и существует предел

.

Тогда ряд сходится, если , и расходится, если . В случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым;

г) первый признак сравнения. Если (начиная с некоторого ), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

д) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды и сходятся или расходятся одновременно;

е) признак Лейбница. Ряд с чередующимися знаками сходится, если и .

Отметим еще необходимое условие сходимости ряда: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим интегральный признак. Ясно, что функция будет непрерывной при и убывающей, при этом .

Рассмотрим интеграл

.

Так как этот интеграл сходится, то сходится и ряд.

 

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Очевидно, что

, ,

тогда

т.к , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Для решения вопроса о сходимости этого ряда используем признак Коши

,

т.к. , то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. = = =

т.к. , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Легко видеть, что для этого ряда , т.е. признак Даламбера не дает ответа на вопрос о его сходимости. Воспользуемся первым признаком сравнения. Так как

и ряд сходится (см. сходимость обобщенного гармонического ряда ), то и наш ряд сходится.

Можно было бы воспользоваться вторым признаком сравнения. Сравним наш ряд с тем же рядом . Так как = =1

то из сходимости ряда следует сходимость нашего ряда.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 417. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия