Методические указания по выполнению задач № 1–2

Приступая к выполнению данной задачи, студент должен изучить вопросы спектрального анализа сигналов, твердо усвоить и отчетливо представлять, что такое амплитудный и фазовый спектры сигнала, их физический смысл и практическое значение, овладеть приемами расчета, включая способы раскрытия неопределенностей, особенностью расчета спектра сигналов, описываемых четными и нечетными функциями и т. д.

С целью облегчения работы студенту вместе со списком литературы ниже даются краткое введение в спектральный анализ и примеры расчета, показывающие целесообразную последовательность изучения материала и рассматривающие наиболее сложные моменты определения спектра сигналов.

Как известно из курса высшей математики, любая периодическая функция f(t) с периодом Т, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в интервале (О, Т) или (-Т/2; Т/2) в ряд Фурье:

,

(1)

где а₀, а_n, b_n – коэффициенты ряда Фурье, которые вычисляются по следующим формулам:

,	(2)
,	(3)
,	(4)

где – круговая частота.

Для практических целей удобно объединить косинусоидальные и синусоидальные колебания одинаковой частоты в одно колебание:

,

(5)

 

 

где

, .

(6)

С учетом (5) ряд (1) может быть записан в виде

.

(7)

Колебание вида А(t) = A_nsin(nwt+j) называется гармоническим, поэтому ряд Фурье также называют гармоническим. Совокупность гармоник ряда (7), представляющего функцию f(t), называют ее спектром или чаще – спектром сигнала, который описывается данной функцией.

Различают амплитудный спектр (совокупность амплитуд А_n) и фазовый спектр (совокупность начальных фаз j_n).

Расчет амплитудного и фазового спектров может быть выполнен по формулам (2), (3), (4) и (6).

Следует иметь в виду, что при расчете может иметь место неопределенность при некоторых значениях n. Порядок расчета с раскрытием неопределенности показан в примере. Ниже поясняется порядок расчета амплитудного и фазового спектров на примере прямоугольного импульса постоянного тока.

 

Первый пример решения задачи

Требуется найти аналитическое выражение и построить амплитудный и фазовый спектры сигнала, показанного на рис. 1а. Для этого необходимо разложить в ряд Фурье в интервале (О,Т) функцию f(t), описывающую данный сигнал. В соответствии с общим правилом по формулам (2)–(4) вычисляем коэффициенты ряда:

.

Интеграл берем в интервале от 0 до t_u, т. к. f(t)=0 на отрезке от t_u и до Т и, следовательно, . Аналогично вычисляются коэффициенты a_n и b_n:

;

.

 

а) б)

 

в)

 

Рис. 1. Графики: а – исходной функции; б – амплитудно-частотного спектра;

в – фазочастотного спектра

 

Для нахождения амплитудного спектра сигнала необходимо вычислить амплитуду A_n каждой гармонической составляющей сигнала, определяемой суммой двух колебаний одной частоты, но сдвинутых друг относительно друга на 90 °, а именно :

Подставив значения и в найденное выше выражение, получим

 

; .

 

Найденные по этой формуле значения A_n могут получиться отрицательными. Для расчета амплитудного спектра следует использовать абсолютные значения A_n. Графически спектр изображается в системе координат X, Y, где по оси X откладываются номера гармоник n (или их частоты nw), а по оси Y – соответствующие им амплитуды A_n (рис. 1б).

Фазовый спектр определяется аналогично амплитудному. В соответствии с формулой (6) имеем

 

.

 

Подставив значения t_u и w, получим

 

.

 

Поскольку j_n является аргументом функции тангенса, имеющей период p, то к j_n можно прибавить или от j_n отнять любое целое число p. Поскольку в данном случае j_n возрастает в области отрицательных значений с увеличением n, то удобнее прибавлять целое число p. Таким образом, окончательно можно записать:

 

; k = 0, 1, 2, 3,…

 

Графически фазовый спектр изображен на рис. 1в, причем значения j_n для n, кратных трем, показаны пунктиром, поскольку А_n = 0 для этих значений n. Это можно истолковать так: гармоники, номера которых кратны трем, имеют начальную фазу - (или + p/2) и амплитуду, равную нулю.

Расчет может быть значительно сокращен и упрощен, если использовать свойства функции f (t). Известно, что если f (t) – четная, т. е. f (t) = f (- t), то ее разложение в ряд Фурье не содержит членов с синусами, а если f (t) – нечетная, т. е. f (t) = - f (- t), то ее разложение не содержит постоянной составляющей и членов с косинусами. Таким образом, ряд Фурье запишется для четной f (t):

 

,

 

а для нечетной f (t): .

Кроме того, выражения для а_n и b_n в этом случае также упрощаются. Для четной f (t):

 

,

 

где b_n = 0, А_n = а_n;

а для нечетной:

 

 

Таким образом, для четных f (t) необходимо вычислять только а₀ и а_n, а для нечетных – только b_n.

Второй пример решения задачи

Требуется найти аналитическое выражение амплитудного спектра сигнала, показанного на рис. 2а. Сигнал описывается выражением:

 

и существует в интервале от - до периода Т. Как нетрудно убедиться, f(t) – нечетная функция. В соответствии с (9) имеем а₀ = 0, а_n = 0.

 

 

 

а)

 

 

б)

 

Рис. 2. Графики: а – амплитудный спектр; б – полученная функция

 

Далее введем обозначения:

 

, .

 

Тогда выражение для b_n запишется так:

 

Подставив в полученное выражение значения и , произведя несложные преобразования, получим расчетную формулу для b_n:

 

.

 

При , т. е. nw = w₀, имеет место неопределенность вида .

В таких случаях значения коэффициентов ряда Фурье находят по формулам (3), (4) путем подстановки в них данной конкретной величины n. В нашем примере в выражение (4) подставляем :

 

 

Подставив , получаем расчетную формулу:

 

а при n = 3: .

Амплитудный спектр изображен на рис. 2б. Фазовый спектр данного сигнала можно специально не показывать на рисунке, т. к. гармоники с нулевой амплитудой имеют нулевую начальную фазу. Это следует из факта, что а_n = 0 для всех значений n. Для тех же значений n, при которых b_n = 0, определять начальную фазу нет необходимости.

При определении спектра частот сигнала DF_c (рис. 1б) следует учесть составляющие спектра от нулевой (n = 0) до второй гармоники (n = 2), т. е. D n = 2.

Тогда .

Зная длительность элементарного импульса t_u, можно вычислить DF_c.