Замечание. Равносильность и означает, что уравнение однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемую функцию такую, что , вообще, при .

 

 

[1] Эскрима – филлипинское боевое искусство

[2] бастон - палка

[3] ларго мано янток – длинная палка из ротанга.

[4] Визор - ветрозащитные экраны мотоциклетного шлема

[5] Дебби Даунер - персонаж культового американского шоу Saturday Night Live (Субботним Вечером в Прямом Эфире), в исполнении Rachel Dratch, наводящий на всех тоску своими замечаниями и высказываниями.

Билет 26. Неявная функция.

Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между и и означает, что вместо явной формулы эта зависимость представлена уравнением .

Следует отметить, что уравнение не всегда определяет функцию . Например, уравнение функцию не определяет.

Кроме того, уравнение не всегда позволяет однозначно выразить через . Например, уравнение , задающее окружность на плоскости, определяет при две непрерывные функции и .

В этом примере можно например дополнительно потребовать чтобы выполнялось неравенство . Тогда мы получим только .

В общей ситуации условия, при которых существует единственная функция , задаваемая уравнением дает следующая теорема.

Теорема. Пусть определена и непрерывна вместе с частными производными и в окрестности точки такой, что и. Тогда существуют числа и такие, что на множестве уравнение равносильно уравнению где непрерывная и дифференцируемая на функция, и.

Замечание. Равносильность и означает, что уравнение однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемую функцию такую, что, вообще, при.

Доказательство. По условию . Пусть, для определенности, . Ввиду непрерывности , это неравенство выполняется при всех из некоторой окрестности точки .

Следовательно, такое, что функция обладает на отрезке положительной производной и, значит, возрастает. Поскольку , из этого следует, что при функция , а при .

Окрестность, где

 

 

Далее, - также непрерывна. Поэтому она сохраняет знак в некоторой окрестности любой точки, где она положительна или отрицательна.

Значит, можно выбрать так, чтобы

 

 

При любом фиксированном функция возрастает на . При этом . Поэтому существует, притом единственное значение такое, что . Это значение соответствует точке . Это соответствие и обозначается .

Таким образом, искомая функция построена. При этом, просто по построению при .

Докажем, что непрерывна. Пусть приращению соответствует приращение . При этом по построению . Но - дифференцируемая функция, поэтому (3), где при .

Так как по построению окрестности , из равенства (3) следует, что при также и , что означает непрерывность построенной .

.

Из равенства (3) следует, что , т.к. , и при достаточно малых (а значит, по доказанному выше, и ) коэффициент при отличен от и . Значит, . Теорема доказана.

Аналогичными рассуждениями можно доказать такую теорему:

Теорема. Пусть функция непрерывна и имеет все непрерывные частные производные в окрестности точки такой, что, причем. Тогда существуют числа такие, что в области, уравнение равносильно уравнению, причем функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные, причем

.