Решение. Согласно схеме (рис.10.1), необходимо найти шесть неизвестных величин – токов, поэтому надо составить систему уравнений из шести линейно-независимых

 

Согласно схеме (рис.10.1), необходимо найти шесть неизвестных величин – токов, поэтому надо составить систему уравнений из шести линейно-независимых уравнений.

В схеме имеется 4 узла - A, B, C, D, тогда независимых уравнений можно составить на единицу меньше, чем узлов схемы [2].

Применяем первое правило Киргофа к любым трем узлам

 

Узел A: (3)

Узел B: (4)

Узел D: (5)

 

Оставшиеся три уравнения составим согласно второму правилу Киргофа для трех замкнутых контуров цепи, например, AEBD, BFCD, ACGH.

Будем считать, что направление обхода в каждом контуре цепи проводится по часовой стрелке.

 

Контур AEBD (6)

Контур BFCD (7)

Контур ACGH (8)

 

Представим систему (3)-(8) в виде матричного уравнения

 

(9)

 

или в сокращенном виде

 

(10)

 

Решение матричного уравнения

 

 

(10)

 

можно найти разными методами, но достаточно найти решение численно, например при помощи метода Гаусса (см. Приложение А1) или на основе математического пакета. Здесь приведен листинг программы решения системы (9) на языке программирования пакета MatLab [3].

 

%F2272.m

clear all

E1=1; E2=1; E3=1;

R1=10; R2=10; R3=10; R4=10; R5=10;

M=zeros(6,6);

M(1,1)= 1; M(1,2)=-1; M(1,3)=-1;

M(2,3)= 1; M(2,4)=-1; M(2,5)=-1;

M(3,2)= 1; M(3,4)= 1; M(3,6)= 1;

M(4,2)=-R4; M(4,3)= R1;

M(5,5)= R2+R3; M(5,6)=-R5;

M(6,2)= R4; M(6,6)= R5;

B=zeros(6,1);

B(4)=-E1;

B(5)= E1+E2;

B(6)= E3;

I=M\B

%Проверка решения

Y=M*I-B

 

Как показывает результаты вычислений, вычислительная ошибка для каждого значения силы тока практически равна нулю.

 

Ответ: А, А, А, А, А, А.

 

***

 

10.1. Какую массу топлива нужно сжечь на электростанции, чтобы по телевизору мощностью 250 Вт посмотреть фильм продолжительностью 1.5 часа? Построить диаграмму «масса топлива - тип электростанции», если известно, что: кпд электростанции 30%, удельная теплота сгорания нефти 46 МДж/кг, кпд электростанции 24%, удельная теплота сгорания угля 28,8 МДж/кг, кпд АЭС 35%, удельная теплота сгорания уранового топлива 8,28ּ10¹³ Дж/кг

 

10.2. Электрический чайник вместимости 1.5 литров имеет сопротивление нагревательного элемента 50 Ом, кпд 70 % и работает при напряжении 220 В. Начальная температура воды 10 градусов. Определить мощность тока, потребляемую чайником; силу тока в нагревательном элементе; время, в течение которого вода в чайнике закипит, и стоимость энергии, если 1 кВтּчас стоит 2 рубля 9 копеек (на осень 2013 года, отметим, что весной 2003 года 1 кВтּчас стоил 88 копеек).

 

10.3. Имеется 12 элементов с ЭДС 1.5 В и внутренним сопротив-лением 0.4 Ом каждый. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление 0.3 Ом? Какой величины будет ток? Постройте графики полной, полезной мощности и мощности потерь.

 

10.4. Определите силу тока, протекающего через сопротивление R ₁ в цепи, изображенной на рисунке 10.2. Параметры цепи следующие: R ₁ = 2 кОм, R ₂ = 1 кОм, R ₃ = 2 кОм, r = 0 Ом и U = 24 В. Построить график падения потенциала вдоль замкнутого контура ABCFA.

 

10.5. Определите силу тока, протекающего через сопротивление R ₁ в цепи, изображенной на рисунке 10.2. Параметры цепи следующие: R ₁ = 2 кОм, R ₂ = 1 кОм, R ₃ = 2 кОм, r = 0 Ом и U = 24 В. Построить график падения потенциала вдоль замкнутого контура ABCDEFA.

 

10.6. Два гальванических элемента, имеющих ЭДС E ₁ = 1.5 В, E ₂ = 1.6 В и внутренние сопротивления r ₁ = 0.60 Ом, r ₂ = 0.40 Ом, соединены разноименными полюсами (рис.10.3). Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определите разность потенциалов на зажимах элементов. Построить график падения потенциала вдоль цепи.

Рис. 10.2. К задаче 10.4, 10.5. Рис. 10.3. К задаче 10.6.

 

10.7. Три источника с ЭДС E ₁ = 10.0 В, E ₂ = 5.0 В, E ₃ = 6.0 В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 0.1 Ом, r ₂ = 0.2 Ом, r ₃ = 0.1 Ом соединены, как показано на рисунке 10.4. Определить напряжение на резисторах сопротивлениями R ₁ = 5.0 Ом, R ₂ = 1.0 Ом, R ₃ = 3.0 Ом. Построить график падения потенциала вдоль замкнутого контура ABCDEHGKA.

10.8. Три источника с ЭДС E ₁ = 9.0 В, E ₂ = 6.0 В, E ₃ = 5.0 В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 0.1 Ом, r ₂ = 0.2 Ом, r ₃ = 0.3 Ом соединены, как показано на рисунке 10.4. Определить напряжение на резисторах сопротивлениями R ₁ = 5.0 Ом, R ₂ = 2.0 Ом, R ₃ = 3.0 Ом. Построить график падения потенциала вдоль замкнутого контура ABFHGKA.

 

10.9. Цепь собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров (рис.10.5). Показания первого вольтметра U ₁ =1.25 В и третьего вольтметра U ₃ =4 В. Найти показание второго вольтметра U ₂. Построить график падения потенциала вдоль замкнутого контура ABCGA.

 

Рис.10.4. К задаче 10.7, 10.8 Рис.10.5. К задаче 10.9

 

10.10. Определить сопротивление подводящих проводов от источника с напряжением 220 В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения 1 мм ² и длиной 2 см плавятся за 0,03 секунды. Начальная температура 27⁰ С. Удельная теплоемкость свинца равна 126 Дж/(кг К), удельная теплота плавления 22,6 кДж/кг, температура плавления t *=327⁰ С, плотность свинца 11300 кг/м ³.

 

Литература

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Т 1,2.

2. Сивухин Д.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Т 1,2.

3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MatLab 7 СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.