Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби. Например, множество дробей Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа. Определение. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа. Например, о дроби Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства. Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами. Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью Можно доказать, что при замене дробей В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).
|
- это один класс, множество дробей 
это другой класс и т.д.
мы должны говорить, чтоона является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят 
, а положительное рациональное число b другой дробью 
, то а = b тогда и только тогда, когда тq = пр.
, и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m+р раз,т.е. длина отрезка z выражается дробью 
. Поэтому полагают, что 
, т.е. 
