Понятие дроби
И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Определение. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде В записи дроби Дробь Вернемся к рисунку 1, где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью Теорема. Для того чтобы дроби Доказательство этой теоремымы опускаем. Определение. Две дроби Если дроби равны, то пишут Например, Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка. Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать. Теорема.Равенство дробей является отношением эквивалентности. Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексив но: Равенство дробей симметрично: если Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его. Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу,то дробь называют несократимой. Например, Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей Например. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3 × 5, 35 = 5×7. Тогда К(15,35) =3× 5× 7 =105. Поскольку 105 = 15× 7 = 35 ×3, то
|
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е.
Е где Е- длина единичного отрезка е, а символ 
Е, где символ — называют дробью (и читают «эм энных»).
числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.
. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью 
, где k - - натуральное число.
выражали длину одного того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство тq = пр.
, таккак 17×21 = 119×3, а 
потому что 17×27 = 459, 19×23 = 437 и 459 ¹ 437.
, то 
, так как из mq = nр следует, что рn = qm (m, n, р, qÎN). Оно транзитивно: если 
, то 
. В самом деле, так как 
,то тq = пр, а так как 
, то рs = qr. Умножив обе части равенства mq = nр на s, а равенства рs = qr на n, получим mqs = nрs и nрs = qrs. Откуда mqs =qrn или ms = nr. Последнее равенство означает, что 
- несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу.
является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(n, q).
и 
.
, 
