Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9. Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления. Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0, где ап, а п-1, …, а1 принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ап ¹0 и а0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х M 2. Так как 10 M2, то 102 M 2, 103 M 2,..., 10п M2 и, значит, ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 M2. По условию а0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2. Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Запишем равенство х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 в таком виде: а0 = х - (ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а0 M2, поскольку х M 2 и (ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10) M2. Чтобы однозначное число а0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8. Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5. Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2. Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х. Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х M 4. Так как 100 M 4, то (ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а2 × 102) M 4. По условию, а1×10 + а0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4. Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4. Запишем равенство х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 в таком виде: а1×10 + а0 = х - (ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а2 × 102). Так как х M 4 и (ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а2 × 102), то по теореме о делимости разности (а1×10 + а0) M 4. Но выражение а1×10 + а0есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х. Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4. Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9. Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10п - 1 делятся на 9. Действительно, 10п - 1 = (9× 10п-1 + 10п – 1) - 1 = (9× 10п-1 + 9× 10п-2 + 10п –2) - 1 = (9× 10п-1 + 9× 10п-2 +... + 10) - 1 = 9× 10п-1 + 9× 10п-2 +... + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10п - 1 делится на 9. Пусть число х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 и (ап + а п-1 + …+ а1 + а0) M 9. Докажем, что тогда х M 9. Преобразуем сумму ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0, прибавив и вычтя из нее выражение ап + а п-1 + …+ а1 + а0 и записав результат в таком виде: х = (ап × 10п - а п) + (а п-1 × 10п –1- а п-1) +... + (а1 × 10 - а1) + (а0 - а0)+ (ап + а п-1 + …+ а1 + а0) = ап (10п-1- 1) + а п-1 (10п-1- 1) +... +а1× (10п-1- 1)+(ап + а п-1 + …+ а1 + а0). В последней сумме каждое слагаемое делится на 9: ап (10п-1- 1) M9, так как (10п-1- 1) M9, а п-1 (10п-1- 1) M9, так как (10п-1- 1) M9 и т.д. (ап + а п-1 + …+ а1 + а0) M 9 по условию. Следовательно, х M 9. Докажем обратное, т.е. если х M9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9. Равенство х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 запишем в таком виде: ап + а п-1 + …+ а1 + а0 = х - (ап (10п - 1) + а п-1 ( 10п –1 - 1) +... + а1 (10 - 1)). Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (ап + ап-1 + …+ а1 + а0) M9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9, что и требовалось доказать. Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27 делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15, не делится на 9. Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9. Мы рассмотрели признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9. Из школьного курса математики известен еще ряд других, например, на 10 и 25. Конечно, этого недостаточно, чтобы решать вопросы делимости. Существует общий признак делимости для чисел, записанных в любой позиционной системе счисления, открытый в XVII веке французским математиком Паскалем. Мы рассмотрим его для случая, когда основанием системы счисления является число 10. Теорема 16 (признак делимости Паскаля). Число х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+ …+ а1 × 10 + а0 делится на число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма ап × rп + а п-1 × rп –1+ …+ а1 × r1 + а0, где r1, r2,…,rn - остатки от деления на b разрядных единиц 10, 102,..., 10n. Используя этот признак, выведем, например, известный признак делимости на 3 в десятичной системе счисления. Найдем остатки от деления разрядных единиц на 3: 10 =3×3+1(r1=1); 102= 3×33 + 1 (r2 = 1); 103= 102•10= (3×33 + 1) × (3×3 + 1) =3q3 + 1 (r3 = 1). На основании рассмотренных случаев можно предположить, что ("n Î N) 10n = 3qn+ 1. Убедиться в истинности этого утверждения можно, если воспользоваться методом математической индукции. Таким образом, доказано, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на 3. Используя признак делимости Паскаля, можно доказать следующий признак делимости чисел на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11. Обычно при нахождении разности из большего числа вычитают меньшее. Например, число 540309 делится на 11, так как (4 + 3 + 9) - (5 + 0 + 0) = 11, а 11: 11. Число 236 не делится на 11, поскольку (2 + 6) - 3 = 5, но 5 не кратно 11.
|
