Алгоритм деления

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 × 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, непол­ным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45: 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9×5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

51 9

- 45 5

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378 = 4 q + r, причем остаток r должен удовлетвори условию 0 £ r < b, а неполное частное q - условию 4 q £ 378 < 4(q + 1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4 q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условий сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. есть 10 < q < 100, то тогда 40 < 4 q < 400 и, следовательно, 40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 × 90 = 360, а 4 × 100 = 400, и 360 < 378 < 400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q = 90 + q_0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4× (90 + q₀) £ 378 < 4 × (90 q + q₀+ 1), откуда 360 + 4 q₀ £ 378 < 360 + 4(q₀ + 1) и 4 q₀ £ 18 < 4(q₀ + 1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀ = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитание: 378 – 4 × 94 = 2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378 – 4 × 94 + 2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

378 4

- 36 94

- 16

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - зна­чит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52 q + r, 0£ r <; 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52 q £ 4316 < 52 (q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520 < 4316 < < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 ×; 80 = 4160, а 52 ×;90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q₀. Но тогда должны выполняться неравенства:

52 ×; (80+ q₀) £ 4316 < 52 ×;(80+ q₀ + 1),

4160 + 52 q₀ £ 4316 < 4160 + 52 ×;(q₀ + 1),

52 q₀ £ 156 < 52 ×;(q₀ + 1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 ×;3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получа­ется частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

4316 52

- 416 83

- 156