Запись числа в десятичной системе счисленияКак известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3·103+7·102+4·10+5. Определение. Десятичной записью натурального числа х называй его представление в виде: Х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 =, где коэффициенты аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0. Сумму аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 в краткой форме принято записывать так: Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать. Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде Х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0, (1) где аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0 и такая запись единственна. Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 102, 103,..., 10п,... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10 п £ х £ 10 п + 1 что всегда можно сделать. Разделим (с остатком) число х на 10 п. Если частное этих чисел обе значить через ап, а остаток через хп, то х = ап ×10п + х, где ап < 10 хп < 10 п. Далее, разделив хп на 10 п -1, получим: хп = ап – 1 × 10 п – 1 + хп – 1, откуда х = ап ×10п + ап – 1 × 10 п – 1 , где ап – 1 < 10 и хп – 1, < 10 п – 1 . Продолжая деление, дойдем до равенства х2 = а1×10 + х1. Положив х1 = а0, будем иметь: х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0, т.е. число х будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятичной системе счисления. Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число n в равенстве (1) однозначно определяется условием 10 п £ х £ 10 п + 1. После того как n определено, коэффициент ап,, находят из условия: аn × 10 n < (аn + 1) × 10 n. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты а n – 1, …,а0. Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше. Теорема. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления: х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0, у = bт × 10 т +b т – 1 × 10 т – 1 + …+ в1 × 10 +b0. Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий: а) п < т; б) п = т, но ап< bп; в) п = т, ап = bп, …, аk = b k, но аk-1 < b k-1 Доказательство. В случаев а) имеем: так как n < т, то 10 п + 1 < 10 т, а поскольку х <10 п + 1 и 10 т £ у, то х < 10 п + 1 £ 10 т£ у, т. е. х < у. В случае б): если п = т, но ап< bп, то ап + 1 £ bп и потому (ап + 1)×10 п < bп ×10 п. А так как х < (ап + 1)×10 п и bп ×10 п £ у, то (ап + 1)×10 п < bп ×10 п £ у, х < у. Аналогично доказывается теорема и в случае в). Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467, то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у. Если натуральное число х представлено в виде х = а n × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0,, то числа 1, 10, 102,.... 10п называют разрядными единицами соответственно первого, второго,..., n + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления. Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни. Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов. Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел. В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1×10 + а0 образуются из соединения первых десяти названий и сколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д. Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи. Слово «двадцать» обозначает два десятка. Числа третьего десятка (это числа вида 2×10 + а0) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д. Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел период и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два,..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести» Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча. Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычислениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард - 109. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 1012, квадриллион – 1015 и т. д. Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных. Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.
|
.
