Студопедия — Теоретико-множественный смысл разности
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретико-множественный смысл разности






В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).

Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство п(А\В) = п(А) -п(В).

Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке.

Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А) = n(В) +n(А\В), откуда, по определе­нию вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) =n(А) - n(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В Ì А: а - b = n(А) - n(В) = n (А\В), если В Ì А.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А\0 =А, А\А =0,то а-0=а и а-а=0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В Ì; А, то n(С) = n(А\В) = = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила:

«Если а, b, с - натуральные числа и а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b».

Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А Ç В = Æ, С Ì А (См. рисунок).

Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)\С = (А\С) È В. Но n((А ÈВ)\С) = = n(А È В) - n(С) = (а + b) - с, а n((А\С) ÈВ) = n(А\С) + n(В) = (а - с) + b. И следовательно, (а + b) - с = (а - с) + b, если а > с.

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») есте­ственным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из тео­ретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множе­ству А, и непустое множество В\В1. Если число элементов в множестве В\В1 обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(В\В1) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множест­ве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с = n(В\В1), где В1 Ì В, п(В) = b, п(В1 ) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вы­честь меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента (См. рис.).

А

 
 

 


В1 В\В1

 

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В1) + n(В\В1) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

Рассмотрим еще одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и мно­жестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (См. рис.).

А

 
 


А1 А\А1

 

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А1) = = n(А) - n(А \А1) = 5 - 2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 908. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия