Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает это алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485 - 231 = 4 10² + 8 10 + 5) - (2 10² + 3 10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4 10²+8 10+5 сумму 2 10²+3 10+1, доста­точно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4 10² + 8 10 + 5) - (2 10²+3 10 + 1)= (4 10²+8 10+5) - 2 10² – 3 10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2 10² вычтем из слагаемого 4 10², число 3 10 - из слагаемого 8 10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда: (4 10²+8 10+5) – 2 10² - 3 10 - 1 = = (4 10² - 2 10²) + (8 10 - 3 10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычита­ния и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2) 10² + (8 - 3) 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4 - 2, 8 – 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 10² + 5 10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким об­разом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) 10² + (8 - 3) 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

– способе записи числа в десятичной системе счисления;

– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

– таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 - 326 =(7 10²+6 10 + 0) - (3 10² + 2 10 + 6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать тогда будем иметь выражение: (7 10² + 5 10 + 10) - (3 10² + 2 10 + 6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7- 3) 10² + (5- 2) 10 + (10 - 6) и 4 10² + 3 10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числах х = а_n × 10 ⁿ + а _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ а₁ × 10 + а₀ и у = b_n × 10 ⁿ + b _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ b₁ × 10 + b₀. Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х - у=(а_n - b_n) × 10 ⁿ +(а _{n – 1} - b _{n – 1})× 10 ^{n – 1} + …(а₀ - b₀) (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что всех k выполняется условие а_k ³ b_k. Если же это условие не выполняете то берем наименьшее k, для которого а_k < b_k. Пусть m - наименьше индекс, такой, что m > k и а_m ¹ 0, а а_{m – 1} =... = а_k+1 = 0. Имеетместоравенство а_m×10 ^m = (а_{m – 1}) ×10 ^m + 9×10 ^{m -1} +... + 9×10 ^{k + 1} + 10 ×10 ^k (например, если m=4, k=1, а_m=6, то 6· 10⁴ = 5·10⁴ + 9·10³ + 9·10² + 10·10). Поэтому в равенстве (1) выражение (а_m - b_m) ×10 ^m +... + (а_{k -} b_k) ×10 ^k можно заменить на (а_m - b_{m - 1} )×10 ^m + (9 - b_{m – 1}) ×10 ^m-1 + (9 - b_{k + 1}) ×10 ^{k +1} + (а_k + 10 - b_k)×10 ^k. Из того, что а_k < b_k < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + а_k - b_k < 10, а из того, что 0 < b_s£ 9, вытекает неравенство 0 < 9 - b_s < 10, где k + 1 £ s £ т - 1. Поэтому в записи х –у = =(а_n - b_n) × 10 ⁿ + … + (а_m - b_{m - 1})×10 ^m + (9 - b_m-1)×10 ^m–1+ …+ (9 - b_{k + 1})×10 ^k+1 + (а_k + 10 - b_k)×10 ^k + …+(а₀ - b₀)все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам а_n - b_n, …, а_m- b_m - 1, через n шагов придем к записи разности х -у в виде х – у = с_п × 10 ⁿ + с_{п - 1} × 10 ^{n -1} …+ с₀, где для всех k выполняется неравенство 0 < с _k < 10. Если при этом ока­жется, что с_п = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.