Теоретико-множественный смысл произведенияОпределение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого. Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а. Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а o b. И, кроме того, положим, что а o 1 = а. Тогда выражение а o (b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а o (b+ 1) = Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Умножение на 1 определяется так: а × 1 = а. Если умножение рассматривается на множестве целых неотрицательных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - определение умножения на нуль: а× 0 = 0. Таким образом, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел. Определение. Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям: 1) а × b = 2) а × b = а, если b = 1; 3) а × b = 0, если b = 0. Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А1, А2,..., Аb, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 È А2 È...È Аb, содержит а × b элементов. Таким образом, с теоретико-множественных позиций а × b (b >; 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются. а × b = п (А1 È А2 È...È Аb), если п (А1) = п (А2) =... = п (Аb) = а и А1, А2,..., Аb попарно не пересекаются. Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения. В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 È А2 È А3) = n(А1) + n (А2) + n(А3) = 4 + 4 + 4 = 4 ×;3. Произведение 4 ×;3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 ×;3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц. Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств. Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(А´В) = п(А) × п(В). Доказательство. Пусть даны множества А = (а1, а2,..., ап), В = (b1, b2, …, bk), 741,причем k > 1. Тогда множество А´ В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ n, 1 £ j £ k. Разобьем множество А ´ В на такие подмножества А1, А2,..., Аk, что подмножество Аj, состоит из пар вида (а1, bj), (а2,, bj),…, (аn, bj).Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество Аj состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А´ В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел п и k. Таким образом, равенство n(А´ В) = n(А) × n(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда А ´ В состоит из пар вида (а1, b), (а2,, b),…, (аn, b),число которых равно п. Поскольку n(А) = n, n(В) = 1, то и в этом случае имеем: n(А´ В) = n(А) ×;n(В)= n ×;1 = n. При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В =Æ и n(А´Æ)= n(А) ×; n(Æ) = а ×; 0 = 0. Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b. а × b = п(А) × п(В) = п(А ´ В). Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а × b = b × а состоит в том, что хотя множества А ´ В и В ´ А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества А ´ В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В ´ А, и каждая пара из множества В ´ А сопоставляется только одной паре из множества А ´ В. Значит, n(А ´ В) = n(В ´ А) и поэтому а × b = b × а. Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ассоциативного свойства умножения. Множества А ´ (В ´ С) и (А ´ В) ´ С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества А ´ (В ´ С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (А ´ В) ´ С, и каждая пара из множества А ´ (В ´ С) сопоставляется единственной паре из множества (А ´ В) ´ С. Поэтому n(А ´ (В ´ С)) = n((А ´ В) ´ С) и, следовательно, а(bс) = (а b)с. Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А´ (В \ С)= (А ´ В) \ (А ´ С). В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а ´ 1 = а и а ´ 0 = 0 принимаются по определению.
|
. Сумму а + а + …+ а + а можно представить в виде выражения (
) +а, которое равно а o b + а. Значит, операция а o b обладает теми же свойствами, что и умножение, определенное в аксиоматической теории, а именно, а o 1 = а и а o (b + 1) = а o b + а. В силу единственности умножения получаем, что a o b = а × b.
