Краткое описание этапов решения задачи.

1. Найдём общую длину трубопровода без вычета длины арматуры Σl = 40+20+18+15=93 (м)

2. Вычислим общую длину элементов арматуры Σ; L = 2 L1 + 2L2 + 3L3

ΣL = 0,76*2+1,3*2+2,5*3= 11,56 (м)

3. Общая длина трубопровода с вычетом длины элементов арматуры равна

Δl = 93-11,56=81,44 (м)

Й вариант

Х_опт4=20 ед. (см. в табл. для i=4 во 2-й строке, какой ресурс Х₄ отмечен звездочкой *). Это будет один из оптимальных объемов ресурса на 4-м этапе.

Тогда оптимальный объем ресурса по предыдущим вариантам составит:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4 (5.2)

где Хо - общий объем ресурса (см. условие задачи).

Подставив данные в формулу, получим:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4=60-20=40 ед.

 

2) Теперь по 3-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется ресурс 40 ед., вычисленный по формуле (5.2), на предыдущем этапе i=3. Т.е. задача состоит в том, чтобы по 3-му варианту (i=3) для Х_сопт3=40ед. выделить, какой ресурс Х₃ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 3-м этапе. В данном примере для Х_сопт3=40 ед. звездочкой на 3-м этапе отмечено три ресурса Х₃: Х₃=0 ед.; Х₃=20 ед.; Х₃=40 ед. Следовательно, на этом этапе решение многовариантно. Необходимо рассмотреть каждый вариант в отдельности.

1-а вариант	Хопт3=0 ед.
1-б вариант	Хопт3=20 ед.
1-в вариант	Хопт3=40 ед.

Теперь выясним, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты.

1-а вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-0=40 ед.
1-б вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-20=20 ед.
1-в вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-40=0 ед.

3) Теперь по 2-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется соответствующий ресурс на предыдущем этапе i=2. Т.е. по 2-му варианту i=2 для соответствующего Х_сопт2 следует выделить, какой ресурс Х₂ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 2-м этапе. В данном примере для Х_сопт2=40 ед. звездочкой на 2-м этапе отмечен Х₂=20 ед.; для Х_сопт2=20 ед. звездочкой на 2-м этапе отмечен Х₂=20 ед.; для Х_сопт2=0 ед. оптимальным является ресурс Х₂=0 ед.

1-а вариант	Хопт2=20 ед.
1-б вариант	Хопт2=20 ед.
1-в вариант	Хопт2=0 ед.

Затем рассчитаем оптимальный объем ресурса, который целесообразнее распределять на 1-м этапе. Сначала определим, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты:

1-а вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-0-20=20 ед.
1-б вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-20-20=0 ед.
1-в вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-40-0=0 ед.

4) Для начального, 1-го, этапа имеем:

Х_опт1=Х_cопт1=40 ед.

1-а вариант	Хопт1= Хсопт1=20 ед.
1-б вариант	Хопт1= Хсопт1=0 ед.
1-в вариант	Хопт1= Хсопт1=0 ед.

 

И в заключении по таблице исходных данных определим, как формируются максимальный эффект 18.

А вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60

По 1-му варианту Х_опт1=20 ед. По таблице исходных данных видно, что по 1-му варианту при распределении 20 ед. полученный эффект составляет 5. По 2-му варианту Х_опт2=20 ед. По таблице исходных данных по 2-му варианту при распределении 20 ед. достигается эффект 6. По 3-му варианту Х_опт3=0 ед., а F₃(X₃)=0. По 4-му варианту Х_опт4=20 ед., а F₄(X₄)=7. Последовательно суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=5+6+0+7=18.

Вывод 1-а: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

Б вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60

Суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+6+5+7=18.

Вывод 1-б: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

В вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60

Суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+0+11+7=18.

Вывод 1-в: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

 

Поскольку на 4-м этапе было выделено два ресурса Х₄, отмеченых звездочкой * (Х_опт=20 ед. и Х_опт4=60 ед.), необходимо определить оптимальное решение и по 2-му варианту.

Й вариант

1) Х_опт4=60 ед. Это будет второй оптимальный вариант распределения ресурса на 4-м этапе. Он равен общему объему распределения ресурса Х_о,

Тогда оптимальный объем ресурса по предыдущим вариантам составит:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4=60-60=0 ед. (2)

Следовательно оптимальные решения по первым трем этапам будут равны нулю.

2) Х_опт3=0 ед.

3) Х_опт2=0 ед.

4) Х_опт1=0 ед.

 

И в заключении по таблице исходных данных определим, как формируются максимальный эффект 18.

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60

По 1-му варианту Х_опт1=0 ед. По таблице исходных данных видно, что по 1-му варианту при распределении 0 ед. полученный эффект составляет 0. По 2-му и 3-му вариантам аналогично: Х_опт2=0 ед. и Х_опт3=0 ед., а значит, F₂(X₂)=0 и F₃(X₃)=0. По 4-му варианту Х_опт4=60 ед., а F₄(X₄)=18. Последовательно суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+0+0+18=18.

Вывод 2: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

 

Пример решения задачи № 2

 

Решить графическим методом задачу линейного программирования при ограничениях: Х₁+0,5Х₂<=3,5

0,4Х₁+Х₂<=1,5

и целевой функции Z=0,5Х₁+0,3Х₂=мах.

Краткое описание этапов решения задачи.

1) Необходимо построить две заданные прямые ограничений.

2) Эти прямые отсекают в положительной плоскости выпуклый четырехугольник АВСD. Следует определить координаты точек А, В, С и D.

3) Поскольку построенные прямые - это прямые ограничений, то они отсекают в положительной плоскости т.н. "запрещенную " область, т.е. область, не соответствующую заданным ограничениям. Эта область может находиться либо внутри выпуклого четырехугольника, либо снаружи его (и ни как иначе). О том, каким образом ее определить, будет рассказано в разделе "Подробное описание задачи".

4) Затем строится график целевой функции: Z=С₁•Х₁+С₂•Х₂=мах. Для построения графика следует приравнять С₁•Х₁+С₂•Х₂ к числу, кратному С₁ и С₂.

5) В результате получится линия, которую будет возможно перемещать параллельно себе (т.н. изолиния). Первая точка, которой коснется изолиния при ее приближении к четырехугольнику, и будет являться решением.

6) Графический способ решения задачи требуется подтвердить расчетным, при котором координаты каждой из вершин четырехугольника подставляются в уравнение целевой функции. Таким образом находятся значения целевой функции в каждой из точек: Z_A, Z_B, Z_C и Z_D. При решении задачи на максимум, как в данном примере, оптимум будет в той точке, в которой значение целевой функции максимально.