V. Коэффициент интенсивности напряжений (КИН).V. Коэффициент интенсивности напряжений (КИН). 1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины. 2. Частные случаи определения КИН. 3. Численные методы определения КИН. 4. Определение НДС в вершине трещины для анизотропного случая.
1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.
Ставится задача вычисления напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины. Данная задача сводится к решению плоской задачи теории упругости для математического разреза с граничными условиями, реализующими один из типов трещин. Рассмотрим тело с трещиной (Рис. 1), выберем систему координат с центром в вершине трещины.
Рис. 1. – Тело с трещиной.
Заменим реальную трещину математическим разрезом (Рис. 2), решение задачи удобно рассматривать в полярных координатах (центр координат в вершине трещины).
Рис. 2. – Математическая модель тела с трещиной.
Аналитические решения могут быть получены с помощью методов функций комплексного переменного. Решение в явном виде задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины существует для трех типов простых трещин. В полученных решениях для перехода от плоского-напряженного состояния к плоско-деформированному состоянию нужно сделать замену: (5.1)
I. Для трещины нормального отрыва (тип I) решение имеет следующий вид:
; ; ; , ; (5.2) ; .
II. Для трещины поперечного сдвига (тип II):
; ; ; ; ; (5.3) ; .
III. Для трещины продольного сдвига (тип III):
; ; ; ; (5.4) .
Величины, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, зависящие от геометрии образца и внешних нагрузок, называются коэффициентом интенсивности напряжений соответственно для трещины нормального отрыва (I тип), поперечного (II тип) и продольного (III тип) сдвига. При радиусе, стремящемся к нулю, ненулевые компоненты тензора напряжений стремятся к бесконечности . Это является следствием решения задачи в упругой постановке. Поля напряжений и деформаций вблизи трещины для каждого вида трещины отличаются только на величину КИН (коэффициент интенсивности напряжений).
2. Частные случаи определения КИН.
Задача определения КИН с математической точки зрения не менее сложная, чем задача определения НДС. В настоящее время имеются только несколько аналитических решений для наиболее простых видов трещин (см. справочники по механике разрушений). Остальные частные случаи получены с помощью различных приближенных методов. Рассмотрим несколько частных случаев, конфигурации которых наиболее часто встречаются в технике и широко используются в инженерных расчетах. I.Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости нагруженная на бесконечности растягивающим усилием (Рис. 3, А). (5.5) Формула (5.5) носит название – «решение Ирвина». Если образец имеет ограничения по внешним размерам, то вводят поправку – , которая называется “ К -тарировка”- коэффициент учитывающий форму, внешние размеры образца и характер расположения трещины: (5.6) II. Краевая трещина в полубесконечной плоскости (Рис.3, Б): (5.7) формула (5.7) – «решение Бови». IV. Краевая трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, В):
, где (5.8)
, , (5.9)
здесь b – ширина полосы, l – длина трещины. Формула (5.8) – «решение Гросса». В реальных задачах полоса имеет конечные размеры. Если , то используем «решение Гросса»; иначе необходимо учитывать величину (длину полосы). V. Центральная трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, Г):
(5.10)
формула (5.10) с учетом условия (5.9) носит название «решения Ирвина». , , (5.11) формулы (5.11) –«решение Федерсена». , (5.12) формула (5.12) – «решение Исиды».
Рис. 3. – Виды трещин: А) Трещина нормального отрыва; Б) Краевая трещина в полубесконечной плоскости; В) Краевая трещина в бесконечной полосе; Г) Центральная трещина в бесконечной полосе.
V. Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами (Рис. 4, А): – «решение Бови». (5.13) – «решение Ирвина». (5.14) VI. Круглая трещина в массиве (Рис. 4, Б): , (5.15) где - радиус трещины. Формула (5.15) – «решение Снеддона». VII. Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига (Рис. 4, В): . (5.16) VIII. Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига, нагрузка перпендикулярна листу (Рис. 4, Г): . (5.17)
А Б
В Г Рис. 4. – Виды трещин: А) Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами; Б) Круглая трещина в массиве; В) Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига; Г) Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига.
IX. Трещина в бесконечной анизотропной плоскости (Рис. 5, А):
; ; (5.18) .
X. Асимметричное расклинивающее усилие в плоскости под произвольным углом (Рис. 5, Б). Суперпозиция трех видов трещин.
; ; (5.19) , где - расстояние от оси симметрии до точки, в которой сосредоточено произвольное усилие.
а б Рис. 5. – Виды трещин: А) Трещина в бесконечной анизотропной плоскости; Б) Плоская трещина с произвольным усилием, сосредоточенным на берегах трещины.
Задача определения НДС в простейшем случае сводится к следующему: из справочника берется частное решение наиболее близкое к реальному, из него находится КИН, а затем найденное значение подставляем в асимптотические формулы (5.2 – 5.4).
3. Численные методы определения КИН.
Аналитические решения задач для тел с трещиной получены только для некоторых частных случаев, они сведены в таблицу. Поэтому при решении большинства реальных задач для оценки НДС и КИН используют численные методы. Метод конечных элементов. Условно разделяют на прямые и энергетические методы определения КИН. Прямые методы. Один из основных методов (асимптотические методы) основан на использовании асимптотических формул и заключается в следующем: с использованием любого численного метода определяется НДС вблизи вершины трещины; затем в формулу (5.20) подставляются значения тензора напряжений и определяется . ; ; ; . (5.20)
Преимущества: возможность использования стандартных процедур и программ. Недостатки: погрешность решения зависит от погрешности конечно-элементной аппроксимации, т.е. необходимо мелкое разбиение в вершине трещины; коэффициент интенсивности характеризует скорость изменения напряжений, поэтому нужно рассматривать точку как можно ближе к вершине трещины, вследствие чего получаем большую погрешности численного решения. Пути повышения точности решения: использование мелких сеток; поэтапное решение задачи с постепенным сгущением сетки в вершине трещины; использование сингулярных конечных элементов. Энергетические методы. Данные методы определения КИН основываются на использовании зависимости коэффициента интенсивности напряжений от изменения потенциальной энергии упругого деформирования формула (5.21). ; (5.21) для плоско-напряженного состояния, в случае плоско-деформированного состояния значение «приведенного» модуля Юнга вычисляется по формуле (5.22): . (5.22) Метод податливости (метод полной энергии). В изотермических задачах теории упругости изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении длины трещины равно работе внешних сил (5.23). . (5.23) В методе конечных элементов это реализуется по следующей схеме: ; (5.24) ; (5.25) , (5.26) где -м индексом обозначены узлы в которых приложена внешняя нагрузка. , (5.27) В матричном виде: ; (5.28) , (5.29) где , - узловые усилия и перемещения. Порядок решения задачи: В силу симметрии можно рассматривать половину тела с трещиной. Трещина в МКЭ задается свободной поверхностью (узлы не закреплены). Приращение длины трещины моделируется высвобождением узла перед вершиной трещины.
Рис. 6. – Конечно-элементная модель тела с трещиной.
Для выбранной конечно-элементной сетки (Рис. 6); при длине трещины и заданной внешней нагрузки решается задача теории упругости (определяем НДС). Находим матрицы узловых перемещений . На этой же сетке конечных элементов и при той же нагрузке, но при длине трещины () решаем задачу нахождения матрицы узловых перемещений . Найденные величины подставляем в формулу (5.29) и определяем КИН. Преимущества метода: использование одной и той же конечно-элементной сетки исключает систематическую ошибку. Возможность использования грубого разбиения, за исключением области вершины трещины, где задается приращение длины трещины. Недостатки: можно использовать только там, где справедливо соотношение (5.21), справедливо только для плоских случаев (трещин), в основном на модельных задачах. Метод виртуального роста трещины. Приращение роста трещины задается смещением узла (Рис. 7).
Рис. 7. – Схема смещения узла КЭ сетки.
Меняется геометрия – меняется и матрица жесткости. (5.30) Дифференцирование матрицы сводится к вычислению приращений (их отношения). (5.31)
Метод граничных элементов (Рис. 8). С помощью любого МГЭ (по аналогии с МКЭ) можно определить НДС и с использованием сингулярных формул либо других зависимостей определить КИН. В качестве граничного элемента выступает трещина. Метод разрывных смещений. В данном методе постановка физической и математической задачи совпадают. Следовательно, для оценки НДС этот метод является одним из наиболее предпочтительных,
Рис. 8. – Граничный элемент. где – разрыв смещений. (5.32) Решение задачи теории упругости имеет вид: (5.33) (5.34) (5.35) (5.36) (5.37) Рассмотрим пример: Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости под действием внутреннего давления (Рис. 9).
Рис. 9. – Тело с трещиной, нагруженное внутренним давлением.
, ; , ; , . (5.38) На бесконечности: . Разделим трещину на отрезков (граничных элементов). Предположим, что граничные элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении оси y в пределах каждого элемента можно считать постоянным. Нормальное напряжение в точке , вызванное постоянным вдоль отрезка разрывом смещения равно (5.39):
. (5.39)
Если разрыв смещений имеет место на отрезке с центром в точке , то значение нормального напряжения будет вычислено по формуле (5.40): , (5.40)
где – разрыв смещений на отрезке . Напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывом смещений в -ом элементе, находится путем подстановки вместо :
. (5.41)
Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывами смещений во всех элементах, равно:
, (5.42)
где – коэффициенты влияния, находятся по формуле (3.43):
. (5.43)
Численное решение задачи о трещине под действием внутреннего давления определяется из решения системы с независимыми:
. (5.44)
Эти уравнения можно решить относительно (Рис. 10):
4. Определение НДС для анизотропного случая. Уравнения теории упругости для ортотропного материала: ; ; (5.45) ; ; ; . Для обобщенного плоско-напряженного состояния: ; ; (5.46) . Для обобщенного плоско-деформированного состояния: ; ; . (5.47) Для ПДС закон Гука для ортотропной среды можно записать в следующем виде (исключив ): ; ; (5.48) , где коэффициенты описываются формулами (5.49): ; ; ; (5.49) ; ; . Можно записать коэффициенты через технические постоянные (5.50): ; ; ; , (5.50) где , , , , – эффективные упругие характеристики. Таким образом, заменяя технические постоянные на можно показать, что уравнения, описывающие ПНС и ПДС имеют один и тот же вид. Рассмотрим решение для ортотропного тела с трещиной. Дифференциальное уравнение (5.51) для плоской задачи теории упругости (для ортотропного материала) впервые было получено Лехницким:
, (5.51)
где функция Эри. Введем оператор (): . (5.52) Тогда основное уравнение относительно запишется в форме: , где - корни характеристического уравнения (комплексно-сопряженые величины) в научной литературе иногда обозначают ,; - действительные числа: ; ; (5.53) . Уравнение Лехницкого (5.51) может быть использовано для задачи определения НДС для бесконечной ортотропной среды с трещинами различного типа. Решение для трещины нормального отрыва (5.54) имеет вид:
; ; ; ; ; ; (5,54) ; ; . Для трещины поперечного сдвига (5.55): ; ; ; ; (5.55) .
Для трещины продольного сдвига (5.56):
; ; (5.56) ,
где – действительная часть от комплексного числа, – мнимая часть от комплексного числа. Анализ решений: – для анизотропного и для изотропного случаев в решении присутствует сингулярность по напряжениям, ее порядок – ½. Это следствие того, что решение получено по теории упругости (материал работает только в упругой области) и в вершине напряжения стремятся к бесконечности; – в анизотропном случае (в отличие от изотропного) решение зависит не только от КИН и координат, но и от упругих характеристик материала.
|