V. Коэффициент интенсивности напряжений (КИН).

V. Коэффициент интенсивности напряжений (КИН).

1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.

2. Частные случаи определения КИН.

3. Численные методы определения КИН.

4. Определение НДС в вершине трещины для анизотропного случая.

 

 

1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.

 

Ставится задача вычисления напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины. Данная задача сводится к решению плоской задачи теории упругости для математического разреза с граничными условиями, реализующими один из типов трещин. Рассмотрим тело с трещиной (Рис. 1), выберем систему координат с центром в вершине трещины.

 

 

Рис. 1. – Тело с трещиной.

 

 

Заменим реальную трещину математическим разрезом (Рис. 2), решение задачи удобно рассматривать в полярных координатах (центр координат в вершине трещины).

 

 

 

 

Рис. 2. – Математическая модель тела с трещиной.

 

 

Аналитические решения могут быть получены с помощью методов функций комплексного переменного. Решение в явном виде задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины существует для трех типов простых трещин. В полученных решениях для перехода от плоского-напряженного состояния к плоско-деформированному состоянию нужно сделать замену:

(5.1)

 

I. Для трещины нормального отрыва (тип I) решение имеет следующий вид:

 

 

;

;

;

, ; (5.2)

;

.

 

 

II. Для трещины поперечного сдвига (тип II):

 

;

;

;

; ; (5.3)

;

.

 

III. Для трещины продольного сдвига (тип III):

 

; ;

; ; (5.4)

.

 

 

Величины, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, зависящие от геометрии образца и внешних нагрузок, называются коэффициентом интенсивности напряжений соответственно для трещины нормального отрыва (I тип), поперечного (II тип) и продольного (III тип) сдвига.

При радиусе, стремящемся к нулю, ненулевые компоненты тензора напряжений стремятся к бесконечности . Это является следствием решения задачи в упругой постановке. Поля напряжений и деформаций вблизи трещины для каждого вида трещины отличаются только на величину КИН (коэффициент интенсивности напряжений).

 

2. Частные случаи определения КИН.

 

Задача определения КИН с математической точки зрения не менее сложная, чем задача определения НДС. В настоящее время имеются только несколько аналитических решений для наиболее простых видов трещин (см. справочники по механике разрушений). Остальные частные случаи получены с помощью различных приближенных методов. Рассмотрим несколько частных случаев, конфигурации которых наиболее часто встречаются в технике и широко используются в инженерных расчетах.

I.Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости нагруженная на бесконечности растягивающим усилием (Рис. 3, А).

(5.5)

Формула (5.5) носит название – «решение Ирвина».

Если образец имеет ограничения по внешним размерам, то вводят поправку – , которая называется “ К -тарировка”- коэффициент учитывающий форму, внешние размеры образца и характер расположения трещины:

(5.6)

II. Краевая трещина в полубесконечной плоскости (Рис.3, Б):

(5.7) формула (5.7) – «решение Бови».

IV. Краевая трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, В):

 

, где (5.8)

 

, , (5.9)

 

здесь b – ширина полосы, l – длина трещины. Формула (5.8) – «решение Гросса».

В реальных задачах полоса имеет конечные размеры. Если , то используем «решение Гросса»; иначе необходимо учитывать величину (длину полосы).

V. Центральная трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, Г):

 

(5.10)

 

формула (5.10) с учетом условия (5.9) носит название «решения Ирвина».

, , (5.11)

формулы (5.11) –«решение Федерсена».

, (5.12)

формула (5.12) – «решение Исиды».

 

 

 

А Б В Г

 

 

Рис. 3. – Виды трещин:

А) Трещина нормального отрыва;

Б) Краевая трещина в полубесконечной плоскости;

В) Краевая трещина в бесконечной полосе;

Г) Центральная трещина в бесконечной полосе.

 

 

V. Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами (Рис. 4, А):

– «решение Бови». (5.13)

– «решение Ирвина». (5.14)

VI. Круглая трещина в массиве (Рис. 4, Б):

, (5.15)

где - радиус трещины. Формула (5.15) – «решение Снеддона».

VII. Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига (Рис. 4, В):

. (5.16)

VIII. Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига, нагрузка перпендикулярна листу (Рис. 4, Г):

. (5.17)

 

А Б

t

 

 

В Г

Рис. 4. – Виды трещин:

А) Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами;

Б) Круглая трещина в массиве;

В) Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига;

Г) Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига.

 

 

IX. Трещина в бесконечной анизотропной плоскости (Рис. 5, А):

 

;

; (5.18)

.

 

X. Асимметричное расклинивающее усилие в плоскости под произвольным углом (Рис. 5, Б). Суперпозиция трех видов трещин.

 

;

; (5.19)

,

где - расстояние от оси симметрии до точки, в которой сосредоточено произвольное усилие.

 

а б

Рис. 5. – Виды трещин:

А) Трещина в бесконечной анизотропной плоскости;

Б) Плоская трещина с произвольным усилием, сосредоточенным на берегах трещины.

 

Задача определения НДС в простейшем случае сводится к следующему: из справочника берется частное решение наиболее близкое к реальному, из него находится КИН, а затем найденное значение подставляем в асимптотические формулы (5.2 – 5.4).

 

3. Численные методы определения КИН.

 

Аналитические решения задач для тел с трещиной получены только для некоторых частных случаев, они сведены в таблицу. Поэтому при решении большинства реальных задач для оценки НДС и КИН используют численные методы.

Метод конечных элементов.

Условно разделяют на прямые и энергетические методы определения КИН.

Прямые методы.

Один из основных методов (асимптотические методы) основан на использовании асимптотических формул и заключается в следующем: с использованием любого численного метода определяется НДС вблизи вершины трещины; затем в формулу (5.20) подставляются значения тензора напряжений и определяется .

; ;

; . (5.20)

 

Преимущества: возможность использования стандартных процедур и программ.

Недостатки: погрешность решения зависит от погрешности конечно-элементной аппроксимации, т.е. необходимо мелкое разбиение в вершине трещины; коэффициент интенсивности характеризует скорость изменения напряжений, поэтому нужно рассматривать точку как можно ближе к вершине трещины, вследствие чего получаем большую погрешности численного решения.

Пути повышения точности решения: использование мелких сеток; поэтапное решение задачи с постепенным сгущением сетки в вершине трещины; использование сингулярных конечных элементов.

Энергетические методы.

Данные методы определения КИН основываются на использовании зависимости коэффициента интенсивности напряжений от изменения потенциальной энергии упругого деформирования формула (5.21).

; (5.21)

для плоско-напряженного состояния, в случае плоско-деформированного состояния значение «приведенного» модуля Юнга вычисляется по формуле (5.22):

. (5.22)

Метод податливости (метод полной энергии).

В изотермических задачах теории упругости изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении длины трещины равно работе внешних сил (5.23).

. (5.23)

В методе конечных элементов это реализуется по следующей схеме:

; (5.24)

; (5.25)

, (5.26)

где -м индексом обозначены узлы в которых приложена внешняя нагрузка.

, (5.27)

В матричном виде:

; (5.28)

, (5.29)

где , - узловые усилия и перемещения.

Порядок решения задачи:

В силу симметрии можно рассматривать половину тела с трещиной. Трещина в МКЭ задается свободной поверхностью (узлы не закреплены). Приращение длины трещины моделируется высвобождением узла перед вершиной трещины.

 

 

 

Рис. 6. – Конечно-элементная модель тела с трещиной.

 

Для выбранной конечно-элементной сетки (Рис. 6); при длине трещины и заданной внешней нагрузки решается задача теории упругости (определяем НДС). Находим матрицы узловых перемещений . На этой же сетке конечных элементов и при той же нагрузке, но при длине трещины () решаем задачу нахождения матрицы узловых перемещений . Найденные величины подставляем в формулу (5.29) и определяем КИН.

Преимущества метода: использование одной и той же конечно-элементной сетки исключает систематическую ошибку. Возможность использования грубого разбиения, за исключением области вершины трещины, где задается приращение длины трещины.

Недостатки: можно использовать только там, где справедливо соотношение (5.21), справедливо только для плоских случаев (трещин), в основном на модельных задачах.

Метод виртуального роста трещины.

Приращение роста трещины задается смещением узла (Рис. 7).

 

 

 

Рис. 7. – Схема смещения узла КЭ сетки.

 

Меняется геометрия – меняется и матрица жесткости.

(5.30)

Дифференцирование матрицы сводится к вычислению приращений (их отношения).

(5.31)

 

Метод граничных элементов (Рис. 8).

С помощью любого МГЭ (по аналогии с МКЭ) можно определить НДС и с использованием сингулярных формул либо других зависимостей определить КИН. В качестве граничного элемента выступает трещина.

Метод разрывных смещений.

В данном методе постановка физической и математической задачи совпадают. Следовательно, для оценки НДС этот метод является одним из наиболее предпочтительных,

 

Рис. 8. – Граничный элемент.

где

– разрыв смещений. (5.32)

Решение задачи теории упругости имеет вид:

(5.33)

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)

Рассмотрим пример:

Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости под действием внутреннего давления (Рис. 9).

 

 

Рис. 9. – Тело с трещиной, нагруженное внутренним давлением.

 

, ;

, ;

, . (5.38)

На бесконечности:

.

Разделим трещину на отрезков (граничных элементов). Предположим, что граничные элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении оси y в пределах каждого элемента можно считать постоянным. Нормальное напряжение в точке , вызванное постоянным вдоль отрезка разрывом смещения равно (5.39):

 

. (5.39)

 

Если разрыв смещений имеет место на отрезке с центром в точке , то значение нормального напряжения будет вычислено по формуле (5.40):

, (5.40)

 

где – разрыв смещений на отрезке .

Напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывом смещений в -ом элементе, находится путем подстановки вместо :

 

. (5.41)

 

Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывами смещений во всех элементах, равно:

 

, (5.42)

 

где – коэффициенты влияния, находятся по формуле (3.43):

 

. (5.43)

 

Численное решение задачи о трещине под действием внутреннего давления определяется из решения системы с независимыми:

 

. (5.44)

 

Эти уравнения можно решить относительно (Рис. 10):

 

 

 

 

Рис. 10. – Сравнение аналитического и численного решений.

 

 

4. Определение НДС для анизотропного случая.

Уравнения теории упругости для ортотропного материала:

;

; (5.45)

;

; ; .

Для обобщенного плоско-напряженного состояния:

;

; (5.46)

.

Для обобщенного плоско-деформированного состояния:

; ;

. (5.47)

Для ПДС закон Гука для ортотропной среды можно записать в следующем виде

(исключив ):

;

; (5.48)

,

где коэффициенты описываются формулами (5.49):

;

;

; (5.49)

;

;

.

Можно записать коэффициенты через технические постоянные (5.50):

; ;

; , (5.50)

где , , , , – эффективные упругие характеристики.

Таким образом, заменяя технические постоянные на можно показать, что уравнения, описывающие ПНС и ПДС имеют один и тот же вид.

Рассмотрим решение для ортотропного тела с трещиной. Дифференциальное уравнение (5.51) для плоской задачи теории упругости (для ортотропного материала) впервые было получено Лехницким:

 

, (5.51)

 

где функция Эри.

Введем оператор ():

. (5.52)

Тогда основное уравнение относительно запишется в форме:

,

где - корни характеристического уравнения (комплексно-сопряженые величины) в научной литературе иногда обозначают ,; - действительные числа:

;

; (5.53)

.

Уравнение Лехницкого (5.51) может быть использовано для задачи определения НДС для бесконечной ортотропной среды с трещинами различного типа.

Решение для трещины нормального отрыва (5.54) имеет вид:

 

;

;

;

;

;

; (5,54)

;

;

.

Для трещины поперечного сдвига (5.55):

;

;

;

; (5.55)

.

 

Для трещины продольного сдвига (5.56):

 

;

; (5.56)

,

 

где – действительная часть от комплексного числа, – мнимая часть от комплексного числа.

Анализ решений:

– для анизотропного и для изотропного случаев в решении присутствует сингулярность по напряжениям, ее порядок – ½. Это следствие того, что решение получено по теории упругости (материал работает только в упругой области) и в вершине напряжения стремятся к бесконечности;

– в анизотропном случае (в отличие от изотропного) решение зависит не только от КИН и координат, но и от упругих характеристик материала.