Критерий Коши для последовательностей.

Последовательность { xn } назовем последовательностью Коши или фундаментальной, если

Теорема (Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство: Необходимость. Пусть {xn} сходится.

Достаточность. Пусть {xn} - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой сущ-ют все элементы x1,x2,x3,...,xN − 1.

Предположим, A = max{ | x1 |, | x2 |, | x3 |,..., | xN − 1 |, | xn − ε |, | xn + ε | }. В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. {xn} - ограниченна. В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < (xn − ε;xn + ε).

в силу произвольности .

,

Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.

Теорема о существовании корня непрерывной функции.

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения.

 

Ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

Ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

Теорема Кантора.

Теорема о производной композиции функций.

Теорема о производной обратной функции.