Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма).

Теорема:для любого натурального числа n>2 уравнение

xn + yn = zn не имеет реш-ий в целых ненулевых числ. x,y, z. Доказательство:

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1 (рис.1), выполняется равенство z12 = x2 + y2. При показателе степени n>2 z1n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn (2) Очевидно, что в формуле zn = xn + yn (3)

z > y ≥ x или z > x ≥ y.

Таким образом, можно констатировать, что равенству

zn = xn + yn при n>2 соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона z < z1 (4)

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника z2 < x2 + y2 (5)

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём π/3 < z < π/2 (6)

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z, z2 = x2 + y2 – 2xycos z (7) Отсюда алгебраическим преобразованием получаем

zn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (8)

В результате можно записать

zn = xn + yn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (9)

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Треугольник, согласно (5), можно преобразовать в прямоугольный треугольник со сторонами zn, xn и yn умножением длины каждой из сторон на коэффициенты zn-1, xn-1 и yn-1 соответственно. Его решение будет иметь вид

z2n = x2n + y2n (10)

Если стороны этого треугольника уменьшить до величин zn/2, xn/2 и yn/2, то по обратной аналогии с (2) получим разомкнутый прямоугольный треугольник, в решении которого

zn < xn + yn (11)

Но это значение zn нами уже получено алгебраическим преобразованием, (9).

Великая теорема Ферма опровергнута, если одновременно выполняются условия (9) и (11), то есть

zn < xn + yn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (12)

Очевидно, что (12) противоречит (9). Условие опровержения Великой теоремы Ферма не выполнено, следовательно, эта теорема верна.