1. При каких значениях параметра а уравнение  = 2 + х имеет единственное решение.
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции: у1 = 2 + х у2 =
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0). График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
ОТВЕТ:
при a  -2 уравнение имеет единственное решение.
2. При каких значениях параметра а уравнение  = х + а имеет 1 решение?
Рассмотрим две функции:
у1 =
у2 = x + a
График первой функции строится при помощи сдвига графика y =  на 1 единицу влево. График второй функции строится при помощи сдвига графика у =х на соответствующее значение параметра а (при а > 0 - сдвиг влево, при а < 0 - сдвиг вправо).
Из рисунка хорошо видно, что при a  (-  ; 1) уравнение имеет единственное решение. Но где-то есть такая точка, в которой график второй функции будет являться графиком касательной к у = , следовательно необходимо найти значение параметра а при этом условии.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
()2 = (х + а)2
x2 + 2ax - x + a2 - 1 = 0
x2 + x(2a - 1) + (a2 - 1) = 0
При D = 0 получившееся квадратное уравнение имеет всего одну точку пересечения с осью ОХ, найдем соответствующие значения параметра а.
4a2 - 4a + 1 - 4a2 + 4 = 0
4a = 5 при а = 1.25
В ответе объединяем два полученных решения.
ОТВЕТ:
при a (- ; 1)  {1.25} уравнение имеет одно решение.
3. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?
Область определения уравнения:
ОТВЕТ:
при а = -1,25 уравнение имеет единственное решение
4. Решить уравнение  при всех значениях параметра а.
Область определения уравнения:
· если D < 0, то при a <  , решений нет
· если D 0, то a
Соотнесём решение системы с условиями дискриминанта и получим ответ.
·
· ОТВЕТ:
· при а < , уравнение не имеет решений
· при а , х = 
5. Решить уравнение  при всех значениях параметра а.
Область допустимых значений уравнения:
Из области допустимых значений уравнения следует ограничение на параметр: а -1
Введем новые переменные:
Получаем уравнение: t - v = 1, тогда:
Сложим уравнения системы:
t2 + v2 = a + 1
Составим новую систему:
Решим второе уравнение системы:
2v2 + 2v - a = 0
D = 8a + 4
Чтобы уравнение имело корни D 0 - необходимое условие
а 0.5, значит при а < 0.5 решений нет.
 (не удовлетворяет условию v 0)
Так как v2 не является решением, то 
По условию v 0, следовательно  0
 1, получаем а 0
По условию t 0, значит  0, что выполняется при всех допустимых значениях параметра а.
Возвращаемся к старой переменной:
х = 
Проверим соответствие корня области допустимых значений уравнений.
x -1 -1   -(a + 1) Так как а 0, то правая часть всегда отрицательна и неравенство выполнимо при 1 + 2а 0 а -0.5
| x a a a + 1 Так как а 0, то можно возвести обе части неравенства в квадрат 1 + 2а а2 + 2a + 1 а2 0, следовательно а - любое
| x >  > > 0 Это неравенство выполняется при а -0.5
| Так как а 0, то t = 1 + v неотрицательно (t 0) при тех же значениях парамера а.
ОТВЕТ:
при а < 0, уравнение не имеет решений
при а 0, х =
6. Решить уравнение  = a при всех значениях параметра а.
Ограничение на параметр:
а 0, так как при а < 0 решений нет.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2|x| - x2 = a2
x2 - 2|x| + a2 = 0
Чтобы избавиться от необходимости раскрывать модуль, введём новую переменную |x| = y, причём у есть число неотрицательное. Уравнение принимает вид:
у2 - 2у + a2 = 0
D = 4 - 4a2
4 - 4a2 0
a [-1; 1]
Так как а 0, то рассматриваем a [0; 1]
 y1 = 1 + 
y2 = 1 -
Если a [0; 1], то подкоренное выражение неотрицательно и оба корня имеют место.
|x| = 1 +
x1 = 1 +
x2 = 1 -
|x| = 1 -
x3 = 1 -
x4 = -1 +
ОТВЕТ:
при а (- ; 0) (1; + ), уравнение не имеет решений
при а [0; 1], x1 = 1 +
x2 = 1 -
x3 = 1 -
x4 = -1 +
7. Решить неравенство 
Область допустимых значений неравенства:
Рассмотрим случаи:
· если а > 0, то
Объединяя решения первой и второй систем совокупности, получим х > 
· если а = 0, то 2  = 0, это уравнение верно при а 0
· если а < 0, то неравенство заведомо выполнимо в области допустимых значений уравнений (х a2)
ОТВЕТ:
при а < 0, х a2
при а 0, x >
| 
), 
х1,2 = 
имеет единственное решение?
