Краткие сведения из теории. Известное представление сигналов ортогональными рядами может получить геометрическую трактовку

 

Известное представление сигналов ортогональными рядами может получить геометрическую трактовку. Так, например, , где – координаты вектора сигнала в m - мерном пространстве, а – параметры сигнала. Разберем пример с двумя гармоническими сигналами и , имеющими длительность T, кратную периоду колебаний. Так как сигналы меняются во времени, найдем их усредненные значения - нормы: , тогда и . Изобразим векторы сигналов S₀ и S₁ с нормами и в декартовой системе координат. Очевидно, что векторы будут отличаться друг от друга величиной и фазой (рис.1.1).

Рис. 1.1. Векторное представление гармонических сигналов

 

Найдем расстояние d между концами векторов, воспользовавшись правилами тригонометрии:

 

. (1.1)

 

Чем больше d, тем выше помехоустойчивость системы связи. Определяется она как нормами самих сигналов, так и произведением , получившим название скалярного. Обобщим это понятие на сигналы любого вида. Для этого найдем решение интеграла от произведения двух ранее принятых гармонических сигналов:

 

. (1.2)

 

Представив произведение синусов через косинусы разности и суммы аргументов, получим

 

. (1.3)

 

Второй интеграл от знакопеременной функции имеет нулевое решение, а первый равен

 

. (1.4)

 

Мы получили известное выражение скалярного произведения и это дает основание утверждать, что в общем виде для любых сигналов оно будет равно

 

. (1.5)

 

Свойство ортогональности сигналов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю. Естественно, такие сигналы получили название ортогональных. Данное свойство способствует лучшему распознаванию сигналов и увеличению отношения сигнал/помеха и поэтому используется при построении схем приемников.

Поясним это утверждение подробнее. Допустим, в составе приемника имеется схема, вычисляющая скалярное произведение. Как и прежде, будем считать сигналы гармоническими. Что же дает такая обработка?

В общем случае приемник – демодулятор состоит из двух блоков: УОО – устройства оптимальной обработки и РУ – решающего устройства (рис. 1.2).

 

Рис.1.2. Состав приемника

 

Назначение УОО заключается в повышении отношения сигнал/помеха. Его схема часто дополняется входным узкополосным фильтром для отстройки от помех, сосредоточенных по спектру сигнала. Поэтому если помеха на входе случайна и широкополосна (белый шум), то на выходе фильтра будет узкополосное случайное воздействие, которое можно записать так: . Это сумма синфазной и квадратурной составляющих помехи.

В результате скалярной обработки при опорном сигнале имеем:

 

(1.6)

Воспользовавшись известными формулами тригонометрии и учитывая, что интегралы от произведения знакопеременных функций синуса и косинуса равны нулю, получим результат . Таким образом, синфазная составляющая помехи будет равна нулю, и в итоге повышается соотношение сигнал/помеха. Основные сведения о свойстве ортогональности приведены в [1, с. 44 – 45; 2, с. 51; 3, с. 36 – 37]