Часть 1. Статически определимые стержневые системы

Задание 1. Расчет многопролетной статически определимой балки

 

Для балки, выбранной согласно номеру схемы (рис. 1, 2), построить эпюры от заданной нагрузки. Исходные данные выбираются в соответствии с шифром из табл. 2.

Таблица 2

Первая цифра шифра
l 1, м
q, кН/м	1,2	2,0	1,8	3,0	1,5	2,5	1,4	0,8	1,0	2,2
b, м	1,0	0,8	1,9	1,4	1,6	2,1	1,2	1,8	1,5	2,0
Вторая цифра шифра
l 2, м
P, кН	3,0	2,5	6,0	2,8	7,0	3,3	5,0	8,0	4,0	3,2
Третья цифра шифра (№ схемы)
a, м	1,0	1,2	2,0	2,2	1,3	2,1	1,4	1,9	1,5	0,8
с, м	1,0	2,2	1,4	1,6	1,8	2,0	1,1	1,3	1,5	1,5
m, кН.м	2,0	2,2	2,7	2,4	2,5	1,1	2,6	3,0	2,8	1,5

 

Методические указания к заданию. Для построения эпюр Q и M в статически определимой многопролетной балке необходимо предварительно определить реакции опор и силы в шарнирах, расчленяя балку на отдельные части и составляя уравнения равновесия для каждой отдельной части. Расчленение балки на части осуществляется по шарнирам. При этом силы взаимодействия между любыми двумя смежными частями балки должны быть равны по величине и противоположно направлены. Выражения для Q и M на каждом участке балки получаются способом сечений:

а) в произвольной точке рассматриваемого участка проводится поперечное сечение;

б) составляются уравнения равновесия для части балки, расположенной с какой-либо стороны от проведенного сечения;

в) из уравнений равновесия для отсеченной части определяются Q и M.

При изображении отсеченной части Q и M в проведенном сечении показываются в положительных направлениях: Q >0 поворачивает отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки; M >0 растягивает волокна с нижней стороны оси балки.

 

Примечание. Допускается использовать прямой способ получения выражений для Q и M, вытекающий из способа сечений. В прямом способе выражения для Q и M на каждом участке балки записываются непосредственно через силы, действующие с какой-либо стороны от проведенного сечения, с использованием следующих правил знаков:

а) если сила поворачивает часть балки относительно проведенного сечения по ходу часовой стрелки, то она создает в этом сечении поперечную силу Q >0;

б) если сила растягивает волокна в проведенном сечении с нижней стороны оси балки, то она создает в этом сечении M >0.

По полученным выражениям для Q и M определяются их значения в начале и конце каждого участка и затем строятся эпюры Q, M. Правильность построения эпюр проверяется с помощью дифференциальных зависимостей

, (1.1)

из которых следует:

а) если на участке , то в пределах этого участка , а меняется линейно;

б) если на участке , то в пределах этого участка меняется линейно, а эпюра - квадратная парабола (способ построения этой параболы показан на рис. 3);

в) если в некоторой точке участка , то эпюра в этой точке имеет экстремум;

г) если в некоторой точке балки действует сосредоточенная сила (нагрузка или реакция опоры), то эпюра в этой точке испытывает скачок на величину данной силы, а эпюра имеет в этой точке излом, обращенный в сторону действия силы.

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 4а);

.

Построить эпюры .

Решение. Расчленяем балку на отдельные части по шарниру B (рис. 4б). Для определения реакций опор и силы в шарнире составляем для каждой части по два уравнения равновесия.

Для части BCDE:

Для части AB:

Решая эти уравнения, находим:

.

Записываем выражения для и в произвольном сечении каждого участка. Начало отсчета локальной координаты , определяющей текущее положение сечения на каждом участке, берем в начале участка.

 

Участок АВ - ход справа:

. Эпюра на участке AB имеет экстремум, положение которого определяется из условия

. Отсюда , .

Участок ВС - ход слева:

.

Участок DE - ход справа:

.

. Участок CD - ход справа:

По данным выражениям определяем значения поперечной силы и изгибающего момента в начале и конце каждого участка (табл. 3) и строим эпюры (рис. 4в, 4г).

Участок	AB	BC	CD	DE
x, м				5,2		6,8		4,4
Q, кН	-2,668	5,432	-2,668	-2,668	-2,668	-2,668	5,8	5,8
M, кН м		-12,438		-13,874	-25,52	-7,374		-25,52

Таблица 3

Задание 2. Расчет трехшарнирной арки или трехшарнирной рамы

 

Для трехшарнирной арки или рамы (рис. 5) построить эпюры . Исходные данные выбираются в соответствии с шифром из табл. 4.

Таблица 4

Первая цифра шифра
l, м
	0,2	0,5	0,3	0,6	0,4	0,7	0,8	0,25	0,35	0,45
Вторая цифра шифра
, кН/м
, кН/м
P, кН
Третья цифра шифра
Схема	а	а	б	в	г	а	а	б	в	г
	0,34	0,35	0,39	0,40	0,32	0,36	0,38	0,33	0,30	0,31
Очертание оси	П	О	Р	Р	Р	П	О	Р	Р	Р
Обозначения в последней строке: П - парабола; О - окружность; Р - рама.

Методические указания. Для определения в поперечных сечениях трехшарнирых арок или трехшарнирных рам при действии на них вертикальной нагрузки используются следующие формулы:

(2.1)

Здесь - соответственно изгибающий момент и поперечная сила в двухопорной балке длиной равной пролету арки или рамы от заданной вертикальной нагрузки; - распор (горизонтальные реакции); - ордината произвольного сечения; - угол наклона касательной, проведенной к оси арки в произвольном

 

сечении (для рамы - угол наклона соответствующего прямолинейного участка. В формулах (2.1) считается, что при ; ; при

Ордината оси арки, а также значения функций определяются по следующим формулам:

а) при очертании оси по параболе

(2.2)

б) при очертании оси по окружности

(2.3)

Здесь - радиус окружности. Для рамы значения на каждом участке определяются из геометрических соображений.

Эпюры строятся по точкам. В число расчетных точек обязательно должны входить опоры, шарнир, жесткие узлы рам, точка приложения сосредоточенной силы, а также точки, соответствующие началу или концу участка с распределенной нагрузкой. Всего должно быть 12-14 расчетных точек.

Пример выполнения задания. Дано: схема арки (рис. 6а);

- уравнение оси (па-

рабола). Построить эпюры .

Решение. Записываем уравнения равновесия для определения вертикальных реакций и распора:

Решая эти уравнения, получаем .

Значения в поперечных сечениях арки определяем по формулам

Изгибающий момент и поперечная сила определяются для двухопорной балки (рис. 6б) от заданной вертикальной нагрузки (реакции и для балки будут те же, что для арки).

Участок АК (): .

Участок КL (): .

Участок LB ():

.

Значения функций и в текущем сечении определяются через тангенс угла наклона касательной к оси арки:

.

Эпюры (рис. 6в, 6г, 6д) строятся по точкам. Результаты расчета сведены в табл. 5.

 

№ точки	x	y	sin j	cos j	M 0	Q 0	M	Q	N
-	м	м	-	-	кН м	кН	кН м	кН	кН
			0,848	0,530		11,040		-2,035	-14,291
	2,1	3,088	0,797	0,604	23,184	11,040	-5,330	-0,746	-14,416
	4,2	5,544	0,721	0,693	46,368	11,040	-5,191	0,948	-14,404
	6,3	7,434	0,605	0,796	69,552	11,040	0,416	3,182	-14,084
	8,4	8,736	0,433	0,902	92,736	11,040	11,491	5,928	-13,162
	8,4	8,736	0,433	0,902	92,736	-0,960	11,491	-4,890	-7,969
	10,2	9,384	0,233	0,972	91,008	-0,960	3,737	-3,104	-8,819
	12,0	9,600		1,0	89,280	-0,960		-0,960	-9,300
	14,4	9,216	-0,305	0,952	86,976	-0,960	1,267	1,920	-9,150
	16,8	8,064	-0,539	0,842	84,672	-0,960	9,677	4,205	-8,351
	18,6	6,696	-0,661	0,751	78,084	-6,360	15,811	1,369	-11,183
	20,4	4,896	-0,746	0,666	61,776	-11,760	16,243	-0,895	-14,966
	22,2	2,664	-0,806	0,592	35,748	-17,160	10,973	-2,673	-19,334
	24,0		-0,848	0,530		-22,560		-4,070	-24,060

Таблица 5

 

Задание 3. Расчет плоской статически определимой фермы

 

Для плоской статически определимой фермы (рис. 7) с выбранными по шифру из табл. 6 размерами и нагрузкой требуется:

a) определить силы во всех стержнях способом вырезания узлов;

б) определить силы в стержнях поясов и раскосе заданной панели способом сквозных сечений.

Таблица 6

Первая цифра шифра
l, м
P, кН	1,8	1,5	1,2	1,0	1,9	2,0	1,1	1,3	1,4	1,6
Вторая цифра шифра
Номер панели (считая слева)
Третья цифра шифра (№ схемы)
h, м	3,0	5,5	3,5	4,0	6,0	4,2	4,6	4,5	5,0	4,4

 

 

 

Методические указания. В способе вырезания узлов продольные силы в стержнях определяются из уравнений равновесия, составленных для отдельных узлов фермы. В плоских фермах для каждого узла составляются по два уравнения равновесия: ; . Последовательность вырезания узлов должна быть такой, что в каждом узле имелось не более двух неизвестных сил. При расчете предполагается, что все стержни фермы растянуты. Поэтому все продольные силы (i - номер стержня) направляются от узлов. При решении уравнений равновесия, составленных для рассматриваемого узла, найденные ранее значения подставляются со своими знаками.

В способе сквозных сечений продольные силы в стержнях определяются из уравнений равновесия, составленных для какой-либо отсеченной части фермы. В плоских фермах для отсеченной части можно составить не более трех независимых уравнений равновесия. Поэтому сквозное сечение должно разрезать не более трех стержней. Для определения сил в любом из этих стержней составляются уравнения моментов относительно точки, в которой пересекаются линии действия сил в двух других стержнях. Если из трех разрезаных стержней два расположены параллельно, то для определения силы в третьем стержне составляется уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную первым двум стержням. При изображении отсеченной части фермы силы в разрезанных стержнях направляются от узлов.

Пример выполнения задания. Дано: расчетная схема фермы (рис. 8); . Требуется: а) определить силы во всех стержнях способом вырезания узлов; б) определить силы в стержнях поясов и раскосе третьей панели (считая слева) способом сквозных сечений.

Решение. Определяем реакции опор. Из условия симметрии фермы и нагрузки следует, что . Значения углов , необходимые для дальнейших расчетов, определяются из выражений:

 

Отсюда получаем .

Для определения сил в стержнях способом вырезания узлов рассматриваем последовательно узлы фермы (рис. 9) и составляем для них по два уравнения равновесия (табл. 7).

 

 

Из условия симметрии следует, что силы в стержнях правой половины фермы равны силам в соответствующих стержнях левой половины.

Для определения сил в стержнях третьей панели (стержни 10, 11, 12) способом сквозных сечений проведем через данную панель сечение I-I (рис. 8) и рассмотрим равновесие части фермы, расположенной с левой стороны от проведенного сечения (рис.10). Каждую из сил можно определить независимо от двух других, если для рассматриваемой части фермы записать уравнения моментов относительно точек K, O, S:

Здесь

Узел	Уравнения равновесия	Cилы в кН
А
С
D
E
F
K
L

Таблица 7

 

 

Из уравнений следует: .

Полученные способом сквозных сечений и способом вырезания узлов значения практически совпадают.

Задание 4. Определение перемещений в статически определимой балке

 

Для балки (рис. 11) с выбранными из табл. 8 по шифру данными определить прогиб или угол поворота одного из сечений.

Таблица 8

Первая цифра шифра
l, м	10,0	8,0	9,6	12,0	12,4	13,0	14,0	15,0	16,0	18,0
q, кН/м	1,0	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,0	3,6	5,0	4,0
Вторая цифра шифра
P, кН	4,0	4,5	5,0	3,6	2,0	3,2	8,0	6,0	3,0	2,0
№ сечения
Третья цифра шифра (№ схемы)
Вид перемещения	прогиб	угол поворота

Методические указания. Перемещения (прогибы) и углы поворота сечений балки определяются по формуле Мора

. (4.1)

Здесь - изгибающий момент в произвольном сечении балки от нагрузки; - то же от силы , приложенной в направлении искомого перемещения ; - жесткость балки на изгиб. При определении угла поворота заданного сечения балки изгибающий момент в формуле (4.1) определяется от момента , приложенного в сечении, где определяется угол поворота. Сумма интегралов берется по всем участкам балки. Если на каждом участке , то для вычисления интегралов можно воспользоваться либо правилом Верещагина, либо соответствующими формулами перемножения эпюр.

 

Первая формула треугольников

 

. (4.2)

 

 

Вторая формула треугольников

 

. (4.3)

Формула трапеций

 

. (4.4)

 

 

Формула Симпсона

. (4.5)

 

(Эпюра - квадратная парабола)

 

При пользовании формулами (4.2) - (4.5) произведения ординат эпюр и берется положительным, если эти ординаты расположены с одной стороны от оси участка. При расположении ординат с разных сторон их произведение берется отрицательным.

Пример выполнения задания. Дано: расчетная схема балки (рис. 12а); . Определить прогиб балки в сечении 1.

Решение. Находим реакции опор от заданной нагрузки:

Из этих уравнений получаем:

.

Проверка:

Определяем значения изгибающих моментов от заданной нагрузки в характерных сечениях каждого участка.

Участок 1А: .

Участок АВ:

Участок CD:

Участок BC: в середине .

По найденным значениям строим эпюру (рис.12б). Затем прикладываем в направлении искомого перемещения (прогиба) силу и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 12в). По эпюрам и находим прогиб балки в сечении 1:

Интегралы на участках 1A, AB и BC вычисляются соответственно по формулам (4.2), (4.4) и (4.5).

 

Задание 5. Определение перемещений в статически определимой раме

 

Для рамы (рис. 13, 14) с выбранными из табл. 9 по шифру размерами и нагрузкой требуется определить горизонтальное перемещение или угол поворота одного из сечений.

Таблица 9

Первая цифра шифра
l, м	9,0	9,5	8,0	8,5	5,0	5,5	6,0	7,5	6,2	6,5
q, кН/м	1,0	1,2	1,5	1,8	2,0	2,4	3,0	2,5	3,2	3,5
Вторая цифра шифра
P, кН
h, м	6,0	5,5	5,0	9,5	9,0	8,5	8,0	6,5	10,0	7,0
№ сечения
Третья цифра шифра (№ схемы)
	1:2	2:1	1:3	3:1	2:3	3:2	3:5	5:3	3:4	4:3
Вид перемещения	угол поворота	горизонтальное перемещение

Методические указания. Перемещения и углы поворота сечений рамы определяются по формуле (4.1). Для вычисления интегралов на каждом участке используются формулы (4.2) - (4.5) или правило Верещагина. При известном

соотношении моментов инерции поперечных сечений стержней перемещение и угол поворота выражаются через одну из жесткостей ( или ). При построении эпюр и в рамах необходимо следить за равновесием изгибающих моментов в жестких узлах.

Пример выполнения задания. Дано: расчетная схема рамы (рис. 15а); . Определить горизонтальное перемещение сечения 1.

Решение. Определяем реакции опор от заданной нагрузки:

 

Определяем изгибающие моменты от заданной нагрузки в характерных сечениях каждого участка.

Участок AD:

в середине -

Участок DB: Участок 1С:

Участок 1ED:

.

По найденным значениям изгибающих моментов строим эпюру от заданной нагрузки (рис. 15б).

Определяем реакции опор от силы , приложенной в направлении искомого перемещения:

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях каждого участка рамы от силы .

 

Участок AD: .

Участок BD: .

Участок 1C: .

Участок 1ED:

.

Строим эпюру от силы (рис. 15в). По эпюрам и определяем искомое перемещение:

Для вычисления интегралов используются формулы (4.2) и (4.5).