Формулы полной вероятности.

Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом первый завод производит 25%, второй завод — 35% и третий — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, т.е. Вторая вероятность равна доле брака первого завода среди всего брака, т.е.

Конечный или счётный набор попарно несовместных событий H 1, H 2,... таких, что P(H i) > 0 для всех i и H 1 ∪ H 2 ∪... = Ω, называется п о л н о й г р у п п о й событий или разбиением пространства Ω. События H 1, H 2,..., образующие полную группу событий, часто называют г и п о т е з а м и. При подходящем выборе гипотез для произвольного события A могут быть сравнительно просто вычислены P(A |H i) (вероятность событию A произойти при выполнении «гипотезы» H i) и собственно P(H i) (вероятность выполнения «гипотезы» H i). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события A?

Пусть — полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

Доказательство. Заметим, что

и события (A ∩ H 1), (A ∩ H 2),... попарно несовместны. Поэтому