Арифметические вычисления

 

Основу многих расчетов составляют вычисления значений арифметических выражений. В качестве операндов этих выражений могут выступать константы, вещественные и комплексные переменные, элементарные и специальные функции. Одной из главных особенностей MATLAB является то, что, в отличие от большинства других языков программирования, эта система допускает непосредственное использование массивов в качестве операндов и аргументов функций.

Основным типом данных, с которыми работает MATLAB, являются массивы. Чаще всего в математических вычислениях используются одно мерные (векторы) и двумерные массивы (матрицы).

Чтобы задать вектор-строку, то есть массив размера 1 × n, необходимо заключить ее элементы в квадратные скобки, разделив их запятыми или пробелами.

>> a = [1 2 3]

a =1 2 3

Вектор-столбец задается похожим образом, только в качестве разделителя следует использовать точку с запятой.

>> b = [1; 2; 3]

b =

Вектор-столбец может быть преобразован в вектор-строку с помощью операции транспонирования символом которой является апостроф (').

>> b'

ans =1 2 3

Для формирования матрицы применяются оба типа разделителей.

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

В MATLAB имеется много функций, предназначенных для построения как стандартных, так и специальных матриц.

Функция zeros, например, используется для создания матриц, заполненных нулями.

>> zeros(3)

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

С помощью функции eye можно построить единичную матрицу.

>> eye(3)

ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Функция magic строит магический квадрат – матрицу, у которой сумма элементов каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали одинакова.

>> magic(3)

ans =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Элементами массивов могут быть вещественные и комплексные числа с плавающей точкой.

В MATLAB используется аппаратно реализованная арифметика двойной точности для десятичных чисел с плавающей точкой.

В MATLAB вещественные числа по модулю могут находится в интервале [10−308,10308].

Числа с плавающей точкой распределены в интервале между наименьшим и наибольшим представимым числом. Причем в окрестности нуля они расположены значительно гуще, чем по краям интервала.

Очевидно, что однозначно отобразить континуальное множество вещественных чисел на конечное множество чисел с плавающей точкой невозможно. Поэтому любые операции, проводимые над числами с плавающей точкой, в принципе не могут быть точными, так как всегда приходится производить округление до ближайшего числа с плавающей точкой.

Вещественное число в MATLAB состоит из целой части со знаком или без знака, десятичной точки, дробной и степенной части. Степенная часть должна состоять из буквы e и целого числа со знаком или без знака.

Таким образом, правильная запись в MATLAB числа −1234.5678 должна иметь следующий вид.

>> -1.2346e+003

Допустимы, однако, и другие варианты записи вещественных чисел, которые, впрочем, все равно автоматически приводятся к стандартной форме.

>> -1234.5678

ans =

-1.2346e+003

>> -1.2346*10^3

ans =

-1.2346e+003

Количество значащих десятичных цифр при вычислениях в MATLAB может достигать 15-16. Однако для большей компактности результата при выводе в командное окно часть значащих цифр обычно отбрасывается.

По умолчанию система использует компактный формат, задаваемый командой format short. Переключиться в режим вывода большего числа знаков после десятичной точки можно, выполнив команду format long.

>> format long

>> pi

ans =

3.14159265358979

>> format short

>> pi

ans =

3.1416

Независимо от выбранного формата вывода результатов вычисления в MATLAB всегда проводятся с максимально возможной точностью. Но при этом всегда следует помнить, что количество верных значащих цифр в полученном ответе далеко не всегда будет совпадать с тем количеством цифр, что видны на экране. Иногда при неустойчивости задачи или при неудачном выборе вычислительного алгоритма верные значащие цифры в результате могут отсутствовать вообще.

Если происходит переполнение разрядной сетки, то есть результат операции выходит за рамки диапазона, допустимого для чисел с плавающей точкой, то MATLAB возвращает в качестве результата внутреннее представление бесконечности (Inf).

>> 1/0

ans =

Inf

В тех случаях, когда результат не определен, что происходит, например, при делении 0 на 0, возвращается специальная константа NaN (Not aNumber).

>> 0/0

ans =

NaN

Комплексные числа в MATLAB представляются в памяти компьютера парой чисел с плавающей точкой и записываются в форме a+bi (или a+bj), где символом i (или j) обозначается мнимая единица. Обрати те внимание, что символ операции умножения между мнимой единицей и мнимой частью комплексного числа ставить не следует. Это связано с тем, что система MATLAB допускает пере обозначение переменных i и j,>> z = 5+7i

z =

5.0000 + 7.0000i

С помощью функций real и imag можно выделить вещественную и мнимую части комплексного числа.

>> real(z)

ans =5

>> imag(z)

ans =7

Функция complex позволяет сконструировать комплексное число из упорядоченной пары вещественных чисел.

>> complex(3, 5)

ans =

3.0000 + 5.0000i

Функция conj возвращает комплексно-сопряженное число (символом комплексного сопряжения в MATLAB является также апостроф).

>> z’

ans =

5.0000 - 7.0000i

Модуль и аргумент комплексного числа можно вычислить при помощи функций abs и angle.

>> abs(z)

ans =

8.6023

>> angle(z)

ans =

0.9505

При работе в MATLAB необходимо учитывать две существенные особенности реализации арифметических вычислений в этой системе.

Во-первых, в MATLAB все скалярные переменные трактуются как массивы размера 1 × 1. Действительно, если присвоить следующие значения переменным и с помощью команды whos вывести в командное окно информацию об этих переменных, то можно увидеть, что обе скалярные переменные рассматриваются системой MATLAB как одноэлементные векторы из чисел с плавающей точкой (doublearray и doublearray(complex

>> x = 2;

>> y = 1-i;

>> a = [1 2 3];

>> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> whos

Name Size Bytes Class

A 3x3 72 double array

A 1x3 24 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 16 double array (complex)

Grand total is 26 elements using 216 bytes

Кроме того, при выполнении арифметических операций MATLAB стремится, насколько это возможно, выполнить приведение операндов к одному размеру.

Поэтому первой особенностью арифметики MATLAB является возможность, наряду со стандартной операцией умножения массива на скаляр, выполнить сложение или вычитание массива и скаляра. Скаляр в этом случае автоматически преобразуется в массив, размер которого совпадает с размером соседнего операнда, а все элементы равны исходному скаляру.

>> a + x

ans =

3 4 5

>> A - x

ans =

-1 0 1

2 3 4

5 6 7

Второй особенностью арифметики MATLAB является наличие в этой системе двух комплектов символов для операций умножения, деления и возведения в степень. Один набор операций имеет традиционную символику (*, /, ^) и выполняется для массивов по правилам линейной алгебры.

Второй набор имеет ту же символику, перед которой ставится точка(.*,./,.^), при этом операции выполняются поэлементно.

Необходимость в поэлементных операциях диктуется тем, что при программировании на языке MATLAB эти операции зачастую позволяют избежать чрезмерного использования операторов цикла.

Различия между традиционными и поэлементными операциями удобно рассмотреть на примерах.

>> A = [1 2; 3 4];

>> B = [2 4; 6 8];

>> b = [5; 6];

>> C = [1 2 3; 4 5 6];

>> D = [-4 5 -6; 1 -2 3];

Умножение матриц и векторов в линейной алгебре возможно только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Операция правого деления двух матриц эквивалентна умножению делимой матрицы на обратную матрицу делителя (A/B = AB−1).

>> A*b

ans =

>> B/A

ans =

2 0

0 2

Поэлементное умножение или деление массивов осуществимо толькотогда, когда они имеют одинаковые размеры.

>> C.*D

ans =

-4 10 -18

4 -10 18

>> C./D

ans =

-0.2500 0.4000 -0.5000

4.0000 -2.5000 2.0000

В линейной алгебре возведение в степень может быть осуществлено только в случае квадратной матрицы.

>> A^3

ans =

37 54

81 118

Операцию поэлементного возведения в степень можно применить к любой матрице.

>>A.^3

ans =

1 8

27 64

>>C.^2

ans =

1 4 9

16 25 36

В системе MATLAB определены все элементарные и большая часть специальных функций:

- sqrt(x) – квадратный корень;

- exp(x), log(x) – экспонента и натуральный логарифм;

- sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) – тригонометрические функции;

- asin(x), acos(x), atan(x), acot(x), asec(x), acsc(x) –обратные тригонометрические функции;

- sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x) – гиперболические функции;

- asinh(x), acosh(x), atanh(x), acoth(x), asech(x), acsch(x)обратные гиперболические функции;

- erf(x) – функция ошибок;

- gamma(z) — гамма-функция;

- airy(z), airy(2,z) — функции Эйри первого и второго порядка;

- besselj(k,z), bessely(k,z), besseli(k,z), besselk(k,z)

- функции Бесселя первого и второго рода и модифицированные функции Бесселя.

Аргументами любой математической функции в MATLAB могут быть как вещественные, так и комплексные числа. В случае комплексного аргумента возвращается главное значение функции.

>> atan(1)

ans =

0.7854

>> sqrt(1+i)

ans =

1.0987 + 0.4551i

Векторы и матрицы могут также являться аргументами элементарныхи специальных функций. В этом случае значения функции вычисляютсядля всех элементов массива.

>> exp([1 2 3 4 5])

ans =

2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 148.4132

>> A = [ pi/2 pi/3; pi/6 -pi/2]

A =

1.5708 1.0472

0.5236 -1.5708

>> sin(A)

ans =

1.0000 0.8660

0.5000 -1.0000

 

.