Свойства корня n-ой степени

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени:

1. свойство корня из произведения двух неотрицательных чисел a и b, ему отвечает равенство , это свойство распространяется на произведение k неотрицательных чисел a₁, a₂, …, a_k как ;

2. корень из дроби обладает следующим свойством , где a – любое неотрицательное действительное число, а b – положительное действительное число;

3. при любом действительном a и четных показателях n=2·m справедливо , а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство .

4. свойство корня из корня , где a – любое неотрицательное число, n и m – натуральные числа, это свойство можно распространить как ;

5. для любого неотрицательного a и произвольных натуральных n и m справедливо равенство ;

6. свойство корня степени n из степени неотрицательного числа a в натуральной степени m, определяемое равенством ;

7. свойство сравнения корней с одинаковым показателем: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство ;

8. свойство сравнения корней с одинаковыми подкоренными числами: если m и n такие натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство , а при a>1 выполняется .

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

2. Степени и их свойства.

Степенью называется выражение вида: , где:

— основание степени;

— показатель степени.