Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a¹ 0)

x_1,2= (-b± Ö D)/2a; D=b² -4ac

D>0® x_1¹ x₂;D=0® x₁=x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x_1× x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x_1× x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x_1,2 = -k± Ö (k² -q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

Ö ((x₂-x₁)² -(y₂-y₁)²)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹ 0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/(log_ca); c>0,c¹ 1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1 × q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b_1× q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p -a) = sin a

sin (p /2 -a) = cos a

cos (p /2 -a) = sin a

cos (a + 2p k) = cos a

sin (a + 2p k) = sin a

tg (a + p k) = tg a

ctg (a + p k) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina, a ¹ p n, nÎ Z

tga × ctga = 1, a ¹ (p n)/2, nÎ Z

1+tg² a = 1/cos² a, a ¹ p (2n+1)/2

1+ ctg² a =1/sin² a, a ¹ p n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y)

x, y, x + y ¹ p /2 + p n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹ p /2 + p n

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin² a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg² a)

1+ cos a = 2 cos² a /2

1-cosa = 2 sin² a /2

tga = (2 tg (a /2))/(1-tg² (a /2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a /2 = (1 - cos a)/2

cos² a /2 = (1 + cosa)/2

tg a /2 = sina /(1 + cosa) = (1-cos a)/sin a

a ¹ p + 2p n, n Î Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin² a = 1/(1+ctg² a) = tg² a /(1+tg² a)

cos² a = 1/(1+tg² a) = ctg² a / (1+ctg² a)

ctg2a = (ctg² a -1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³ a = 3cos² a sina -sin³ a

cos3a = 4cos³ a -3 cosa= cos³ a -3cosa sin² a

tg3a = (3tga -tg³ a)/(1-3tg² a)

ctg3a = (ctg³ a -3ctga)/(3ctg² a -1)

sin a /2 = ± Ö ((1-cosa)/2)

cos a /2 = ± Ö ((1+cosa)/2)

tga /2 = ± Ö ((1-cosa)/(1+cosa))=

sina /(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga /2 = ± Ö ((1+cosa)/(1-cosa))=

sina /(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos(arccos a) = a

tg (arctg a) = a

ctg (arcctg a) = a

arcsin (sina) = a; a Î [-p /2; p /2]

arccos(cos a) = a; a Î [0; p ]

arctg (tg a) = a; a Î [-p /2; p /2]

arcctg (ctg a) = a; a Î [ 0; p ]

arcsin(sina)=

1)a - 2p k; a Î [-p /2 +2p k;p /2+2p k]

2) (2k+1)p - a; a Î [p /2+2p k;3p /2+2p k]

arccos (cosa) =

1) a -2p k; a Î [2p k;(2k+1)p ]

2) 2p k-a; a Î [(2k-1)p; 2p k]

arctg(tga)= a -p k

a Î (-p /2 +p k;p /2+p k)

arcctg(ctga) = a -p k

a Î (p k; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p /2-arccosa =

= arctg a /Ö (1-a ²)

arccosa = p -arccos(-a)=p /2-arcsin a =

= arc ctga /Ö (1-a ²)

arctga =-arctg(-a) = p /2 -arcctga =

= arcsin a /Ö (1+a ²)

arc ctg a = p -arc cctg(-a) =

= arc cos a /Ö (1-a ²)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a /Ö (1+a ²)= arccos1/Ö (1+a ²)

arcsin a + arccos = p /2

arcctg a + arctga = p /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m; |m| = 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + p k, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p /2 + 2p k x = p k

sin x = -1

x = -p /2 + 2 p k

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2p k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2p k x = p /2+p k

cos x = -1

x = p + 2p k

tg x = m

x = arctg m + p k

ctg x = m

x = arcctg m +p k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)