Множества и операции над ними. Числовые множества.

№1. Разделить многочлен P(x)=6x⁶-4x⁵+2x³-3 на многочлен Q(x)=x²-x+2.

№2. Разделить многочлен P(x)=2x⁴-x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+3, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=x⁵-3x⁴-3x³-23x²-54x-30 на множители на множестве комплексных чисел.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Многочлены. Стр.2

Множества и операции над ними. Числовые множества.

 

Множество – одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.

Под множеством понимается совокупность вполне различаемых объектов произвольной природы, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

О множестве можно говорить только в том случае, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель воды в стакане.

Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сделать вывод о том, входит или не входит этот элемент в рассматриваемое множество.

Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }, внутри которых перечисляются или описываются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используют заглавные латинские буквы A, B, C, X, …. Для обозначения элементов множества используют строчные буквы: a, b, c ….

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут a Î A; если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут a Ï A.

Задать множество – значит описать множество всех его элементов.

Способы задания множеств.

1. Перечисление. В этом случае необходимо перечислить все элементы, составляющие множество. Например, L={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления.

Порядок записи элементов множества не имеет значения. Множество, задаваемое перечислением, не может содержать одинаковых элементов.

2. Описание. В этом случае необходимо указать условное обозначение элементов множества и характеристическое свойство, т.е. свойство, которым обладают все элементы только этого множества. При этом если A состоит из элементов x, для которых выполняется свойство P (x), то пишут

Например, .

Числовые множества.

Множество натуральных чисел состоит из чисел, которые получаются в результате счёта целых предметов, т.е. .

Натуральные числа, числа, им противоположные по знаку, и нуль составляют множество целых чисел, т.е. .

Множество чисел вида , где m – целое число, а n – натуральное, является множеством рациональных чисел, т.е. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Множества. Стр 1.

Числа, которые нельзя представить в виде соотношения , где m – целое число, а n – натуральное, называют иррациональными (I). Иррациональные числа представляются в виде бесконечной непериодической дроби.

Совокупность множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел ().

Среди натуральных чисел различают:

· простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на 1;

· составные числа — это числа, которые делятся не только на себя и на 1;

· число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам;

· взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей;

· наименьшее общее кратное нескольких чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на все эти числа;

· наибольший общий делитель нескольких чисел (НОД) — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все эти числа.

Все множества в зависимости от числа входящих в них элементов можно разделить на конечные, бесконечные и пустые.

Множество называется конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, которое определяет число элементов множества. Например, .

Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. Например, .

Множество, которое не имеет элементов, называется пустым и обозначается символом Æ. Например, .

Множества А и В называются равными (А=В), если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А, т.е. множества состоят из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется подмножеством множества B (или говорят, что A включено в B), пишут A Ì B (или B É A).

Множества часто изображают диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.1).

 

 

Рис. 1.1

Операции над множествами.

К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность.

Пересечением множеств A и B называется множество A Ç B, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам (рис. 1.2).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Множества. Стр 2.

Объединением множеств A и B называется множество A È B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (рис. 1.3).

Разностью множества А и множества В называется множество A \ B, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.4).

 

A Ì B A Ç B A È B А \ В

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4

 

Для рассмотренных числовых множеств верны соотношения:

; ; .

 

Произведение первых n натуральных чисел называется факториалом, для него введен специальный символ: .

По определению принимают 0! = 1.

 

Для всякого определены следующие понятия:

целая часть (антье) числа x, определяется как целое число такое, что ;

дробная часть (мантисса), определяется равенством ;

– знак числа (сигнум), определяется следующим образом:

Если некоторые действительные числа, то сумму этих величин обозначают с использованием знака суммы: , где k – индекс суммирования.

 

Пример 1. Даны два конечных числовых множества и . Записать элементы множеств , , , .

Решение. Выполняем операции над множествами по их определениям:

;
;
;
.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Множества. Стр 3.

Пример 2. Дано . Найти , , .

Решение.

.

Пример 3. Сократить дробь

Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что

Поэтому

Пример 4. Вычислить сумму

Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7:

Вычисляя, приходим к ответу