Мода и медиана.

Для решения некоторых практических задач нужны обобщающие показатели, которые характеризуют особенности распределения единиц совокупности по величине изучаемого признака.

К таким показателям относятся мода и медиана, их называют распределительными или структурными средними.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака. В дискретном вариационным ряду мода – значение признака, повторяющееся наибольшее число раз (пример, магазин мужской обуви, 41 размер).

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Пример. Распределение рабочих по зарплате:

Группы рабочих по размеру зарплаты, руб. (xмо)	Число рабочих, f	Кумулятивное число
1100-1200
1200-1300
1300-1400
1400-1500
1500-1600		295 Ме
1600-1700
1700-1800
1800-1900
Всего

Определение моды.

1. Поиск модального интервала по наибольшей частоте (наибольшему числу рабочих).

2. Расчет показателей по формуле:

, где

- наименьшее значение модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Для примера:

Таким образом, мода равна:

Определение медианы.

Формула для определения медианы:

, где

- наименьшее значение медианного интервала;

- величина медианного интервала

- кумулятивная частота медианного интервала, должна удовлетворять условию (в нашем случае , т.к. 295>250);

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

В нашем случае:

Таким образом, медиана равна:

Показатели вариации.

Вариацией называется колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака. Вариация зависит от различных факторов и их сочетаний в каждом конкретном случае, например, успеваемость. Вариация бывает случайной и систематической.

Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построения статистических моделей и т.д. Вариация существует в пространстве и времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по различным территориям. Вариация во времени подразумевает изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям относятся: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации.

Размах вариации (R) показывает наибольшее различие между единицами совокупности и рассчитывается как разность между наибольшими (x_max) и наименьшими (x_min) значениями варьирующего признака. Размах вариации выражается именованными числами:

Размах вариации - важный, но не единственный показатель колеблемости признака.

Для анализа вариации используется величина, вокруг которой происходят колебания и рассеяния значений признака. При обобщении этих колебаний снова применяется метод средних, чтобы найти среднюю величину этих отклонений. Такая средняя называется средним линейным отклонением (), которое определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней:

простые взвешенные

 

Средний квадрат отклонений (дисперсия):

Среднее квадратическое отклонение:

Относительные показатели:

1. Коэффициент осцилляции.

2. Линейный коэффициент вариации.

3. Коэффициент вариации.

Если , то совокупность однородна, типична для данной совокупности.

Пример. Распределение предприятий по объему товарооборота.

Группы предприятий по объему товарооборота	Число предприятий, f	Расчетные показатели
x	x*f
90-100
100-110
110-120
120-130
Всего:

R=130-90=40 млн. руб.

Поскольку 7,6%≤33%, то вывод следующий: совокупность однородна, типична для данной совокупности.

Вариация альтернативного признака.

Альтернативным называется атрибутивный признак, который принимает одно из двух противоположных значений. Когда имеются два исключающих друг друга варианта, то наличие признака обозначается через единицу, а его отсутствие через 0 (например, наличие браков продукции).

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

где p – доля единиц, обладающих данным признаком, а q – доля единиц, не обладающих данным признаком. Вообще: p+q=1.

Показатели вариации альтернативного признака широко используются в статистике при проектировании выборочного наблюдения, при социологических обследованиях, статистическом контроле за качеством продукции.

Пример. По данным налоговой инспекции вычислите дисперсию альтернативного признака. В городе проверено 86 коммерческих киосков, в 37 обнаружены финансовые нарушения.

Как определить долю единиц, обладающих данным признаком: . Тогда q=1-0.43=0.57.

Получим и .

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

.

2. Если из каждой варианты отнять постоянное число А, то значение дисперсии не изменится. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

.

Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.

3. Если все значения признака разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится в А² раз. Уменьшение всех значений признака в А раз уменьшает дисперсию в А² раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз.

Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число:

.

4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая отличается от средней арифметической , тогда он будет больше среднего квадрата отклонения σ², исчисленной от средней арифметической:

Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на :

, или .

Обоснование:

Если A=0, тогда

Таким образом:

Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.

Если воспользоваться 3 и 4 свойствами, то получим формулу (способ моментов):

 

где m₁, m₂ – моменты первого и второго порядков соответственно, А – центральное значение (величина) варианта, i – величина интервала.

Пример. Расчет дисперсии способом моментов.

Распределение предприятий по объему товарооборота.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн. руб.	Число предприятий (f)	Середина интервала (x)	x*f
60-80				-2	-42
80-100				-1	-27
100-120
120-140
140-160
160-180
Всего:					-25

i=20 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

- в пределах располагается 0,683, или 68,3%, количество наблюдений;

- - 0,954, или 95,4%, количества наблюдений;

- в пределах - 0,997, или 99,7%, количества наблюдений.

В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают . Отклонение может считаться максимально возможным. Это положение называют «правилом трех сигм».

Виды дисперсий, правила сложения дисперсий.

Для того, чтобы определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака, нужно разделить изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору.

При этом можно определить три вида дисперсии:

- общая дисперсия;

- межгрупповая дисперсия;

- внутригрупповая дисперсия.

Общая дисперсия (σ²) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов:

Межгрупповая дисперсия ()отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних около общей средней :

, где n_i – численности отдельных групп.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящей под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

 

Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Общая дисперсия, межгрупповая дисперсия и средняя из внутригрупповых дисперсий связаны между собой следующим соотношением:

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсии, появляющейся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака. Широко применяется при исчислении показателей тесноты связи, дисперсионном анализе и в других случаях.

Показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии, называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Этот коэффициент показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение:

, где 0≤η≤1.

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака.

Если η=0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если η=1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки.

 

Квантили.

Рис. Ранжирование ряда распределения.

В вариационном ряду распределения кроме медианы можно определить квартили, децили и процентили, которые получили общее название квантили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Первый квартиль (нижний квартиль) Q₁, отделяющий одну четвертую часть совокупности, с наименьшими значениями признака. Q₂ – средний квартиль, медиана, делящая ранжированную совокупность пополам. Q₃ – верхний квартиль, отделяющий одну четвертую часть совокупности с наибольшими значениями признака.

Децили – варианты, делящие совокупность на 10 равных частей. Первый дециль D₁ отделяет от начала совокупности одну десятую часть ряда с наименьшими значениями признака. Второй дециль отделяет две десятые ряда. Перцентили – варианты, которые делят совокупность на сто равных частей. Они используются для детального изучения структуры вариационного ряда.

 

Моменты распределения

Моменты распределения изучаются для характеристики вариационного ряда. Моментом k-го порядка называется средняя арифметическая из k-той степени отклонений отдельных вариантов от некоторой постоянной величины А.

Момент k-го порядка равен:

А – величина, от которой определяется отклонение, k – порядок момента.

В зависимости от того, что принимают за величину А, различают три вида моментов.

Если А=0, то начальные моменты.

Если , то центральные моменты. В остальных случаях – условные моменты.

В статистике находят моменты первых четырех порядков.

Порядок момента	Начальные моменты (М)	Центральные моменты (μ)	Условные моменты (m)
k=1
k=2
k=3
k=4

μ₁=0 всегда, μ₂ – дисперсия, μ₃, μ₄ – для определения асимметрии и эксцессов.

Закономерности распределения.

В вариационных рядах с увеличением значения варьирующего признака частоты сначала увеличиваются, а затем, после достижения максимальной величины в середине ряда, уменьшаются. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределений. Статистическое изучение вариационных рядов состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер.

Таким образом, под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением варианты.

Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая закономерность данного типа распределения в чистом виде. Теоретическое распределение – идеализированная модель эмпирического распределения. Сам анализ вариационных рядов состоит в составлении эмпирического и теоретического распределения и определения степени различия между ними.

Разновидности кривых распределения:

- одновершинные кривые – симметричные, умеренно симметричные и крайне асимметричные;

- многовершинные кривые.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности и показателей асимметрии и эксцесса. С помощью рядов распределения измеряются показатели колеблемости для варьирующих признаков. Чем больше рассеяна кривая по оси абсцисс, тем больше колеблемость признака.

Для симметричных распределений справедливо равенство: .

Асимметричные ряды распределения.

Относительный показатель асимметрии:

или

 

A_S>0 - правосторонняя асимметрия:

A_S<0 - левосторонняя асимметрия:

Показатели эксцесса.

Эксцесс определяется только для симметричных рядов распределения. Эксцесс – выпад вершины кривой распределения вверх или вниз относительно кривой нормального распределения. Выпад вверх - положительный эксцесс, вниз – отрицательный эксцесс.

Если , то это нормальное распределение.

Теоретики распределения, критерии согласия Пирсона, Романовского, Колмогорова, Ястремского.

 

Ряды динамики.

Социально-экономические явления в обществе изменяются во времени. Изучение закономерностей развития этих явлений статистика решает путем построения и анализа рядов динамики.

Рядом динамики называют ряд числовых значений статистического показателя, отражающий изменение явлений во времени. Пример, уровень жизни населения.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время, уровень, соответствующий данному периоду времени.

В качестве показателей времени используются либо определенные моменты времени (начало года, напр.) либо периоды времени (сутки, месяцы, годы). Уровнем называется количественная оценка явления, изменяющегося во времени.

В зависимости от того, как уровни ряда выражают состояние явления на определенные моменты времени или его величину за определенные интервалы времени, различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Моментные ряды динамики изучают состояние явления через определенные промежутки времени на конкретную дату (остатки вкладов банка). Интервальные ряды динамики отображают итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени (товарооборот).

Интервальные ряды обладают свойством суммирования, т.е. каждый его уровень является суммой уровней за более короткие периоды. Пример, производство продукции за год равно сумме производства продукции за каждый месяц. С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития осуществляется в следующих направлениях: характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени, измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей, выявление и количественная оценка основной тенденции развития, изучение периодических колебаний, экстраполяция и прогнозирование.

Статистика изучает ряды динамики с абсолютными величинами, на их основе получают ряды динамики относительных и средних величин.

Относительные величины: темпы роста (прироста); средние величины: средняя урожайность, средняя численность населения.

 

Сопоставимость уровней рядов динамики.

Ряды динамики охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных. Основные причины несопоставимости:

1. Изменение единиц измерения или единиц счета (пример, производство тканей в метрах нельзя сравнивать с квадратными метрами, разные масштабы цен).

2. Методология учета или расчета показателей (пример, средняя урожайность с засеянной площади или собранной площади).

Одним из способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду называется «смыкание» рядов динамики. Он заключается в объединении двух или более рядов динамики, уровни которых вычислены по разной методологии или с разными границами.

Пример, данные о производстве продукции в районе за период 1990-1996 г. в млн. руб.:

Продукция
До изменения границ	45	48	50
После изменения границ		67,2	70	71,3	73,2	74,1	75,0

Аналитические и обобщающие показатели динамического ряда.

Для анализа используются аналитические и обобщающие показатели ряда динамики: абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное содержание одного процента прироста.

Сравнение уровней производится двумя способами:

1. Все уровни сравниваются с одним уровнем, принятым за базу сравнения. Это может быть начало отсчета, начало какого-либо этапа развития. Показатели, получаемые при этом, называются базисными.

2. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то получаемые при этом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост представляет собой разность между двумя уровнями динамического ярда и показывает, насколько данный уровень превышает уровень, взятый за базу сравнения.

Цепной абсолютный прирост:

, где y_i – текущий уровень, y_i-1 – предыдущий уровень.

Абсолютный прирост базисный:

у₀ – базисный уровень.

Базисный абсолютный прирост равен сумме цепных абсолютных приростов за тот же период.

Темп роста представляет собой отношение двух уровней: текущего и предыдущего или базисного.

Темп роста базисный:

Темп роста цепной:

Темп роста базисный равен произведению цепных темпов роста за тот же период:

Темп прироста:

- в долях

- в процентах

Абсолютное содержание 1% прироста:

 

Средние показатели рядов динамики.

В интервальном ряду динамики:

- с равноотстоящими уровнями средний уровень определяется по формуле средней арифметической простой

- с неравноотстоящими уровнями средний уровень определяется по формуле средней арифметической взвешенной

, где - средний уровень за период t_i.

В моментном ряду динамики средний уровень определяется:

- с равноотстоящими уровнями по формуле средней хронологической

- с неравноотстоящими уровнями по формуле

,

где y_i, y_n – уровни ряда динамики, t_i – длительность интервала времени между уровнями.

Средний абсолютный прирост, темп роста и темп прироста определяются только по цепным значениям.

Средний абсолютный прирост (в интервальном ряду динамики):

Средний темп роста определяется по формуле средней геометрической. Средний темп роста по цепным коэффициентам (темпам) роста:

Средний темп роста по базисным темпам роста:

Средний темп роста по абсолютным уровням ряда динамики:

Средний темп прироста:

- в долях

- в процентах

Средняя величина :

Пример составления таблицы для расчета показателей ряда динамики:

Годы, t	Продукция, млн. руб.	Абсолютный прирост, Δy	Темп роста, %	Темп прироста	А(1% пр.)
Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
***	***	***	***	***	***	***	***

 

Тренд в рядах динамики.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием случайных факторов. Влияние эволюционного характера – это изменение, определяющее некоторые общие направления развития, как бы многолетнюю эволюцию. Такие изменения ряда динамики называются тенденцией развития или трендом.

На тренд накладывается влияние систематических и случайных колебаний. Осциллятивный характер проявляется в циклических (конъюнктурных) и сезонных колебаниях. Цикличность состоит в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает до определенного максимума, а затем убывает до определенного минимума. Этот цикл снова повторяется.

Сезонные колебания – это периодическое повторение в некоторое определенное время каждого года (дни, месяцы или часы дня). Сезонные и конъюнктурные колебания наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные не менее 1 года. нерегулярные колебания для сезонных экономических явлений можно разбить на две группы: спорадически наступающие явления, вызванные войной, катастрофами и др. явлениями; случайные колебания, являющиеся действием большого количества относительно слабых второстепенных факторов.

Основные компоненты ряда динамики состоят из четырех частей: Т (тренд), циклическая или конъюнктурная (К), случайная (Е), сезонная (S). Уровень зависит:

В зависимости от взаимосвязи их между собой между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики:

- аддитивная ;

- мультипликативная .

Аддитивная модель характеризуется тем, что характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным. Мультипликативная модель характеризуется тем, что характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

Виды трендовой компоненты.

Тренд – долговременная компонента ряда динамики. Он характеризует основную тенденцию развития. В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать тенденцию трех видов: среднего уровня, дисперсии и автокорреляции. Тенденция среднего уровня аналитически выражается с помощью математических функций, вокруг которых варьируют фактические уровни исследуемого явления. В этом случае ряд динамики будет иметь вид: , где f_t – функция, а E_t – влияние случайных факторов.

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда. Тенденция автокорреляции представляет собой тенденцию изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики. Отсутствие тренда означает неизменяемость среднего уровня во времени.

Выявление тренда в рядах динамики.

Способы обработки рядов динамики:

- укрупнение интервалов;

- сглаживание с помощью скользящей средней;

- аналитическое выравнивание;

- экстраполяция и интерполяция рядов динамики, измерение сезонных колебаний;

- приведение рядов динамики к одному основанию

Метод скользящей средней предназначен для погашения случайных колебаний ряда, когда тенденция развития выражается некоторой плавной линией.

и т.д.

Аналитическое выравнивание используется для того, чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровня динамического ряда во времени. Он основан на том, что основная тенденция развития выражается как функция времени y=f(t):

- прямолинейная функция ;

- парабола второго порядка ;

- показательная функция , где t – темп роста изменяемого явления;

- полулогарифмическая функция ;

- степенная функция .

Метод наименьших квадратов:

, где yt_i – функция, выражающая тенденцию развития, y_i – эмпирические данные.

Сезонные колебания.

Сезонными колебаниями называются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней различных социально-экономических явлений, сезонные колебания проявляются с различной интенсивностью во всех сферах жизни общества: производство, образование, потребление. Сезонность наносит большой вред национальной экономике, связанный с неравномерностью использования оборудования и рабочей силы, неравномерной загрузкой транспорта и необходимостью создавать резервы.

Задачи сезонности:

1) определение наличия сезонности, ее силы и характера в различных фазах годичного цикла;

2) характеристика факторов, вызывающих сезонные колебания;

3) оценка последствий, к которым приводят сезонные колебания;

4) математическое моделирование сезонности.

Для измерения сезонных колебаний наиболее часто применяются следующие методы:

- метод абсолютных разностей (применяется тогда, когда оперируют размерами этих разностей);

- метод относительных разностей (при использовании метода относительных разностей оперируют отношениями абсолютных размеров данных разностей к выровненному уровню);

- построение индексов сезонности (для исчисления сезонных колебаний определяют индексы сезонности).

Индексы сезонности рассчитываются как отношение среднего уровня соответствующего месяца к общей средней за весь период:

Значения индекса сезонности могут быть также вычислены как отношение фактического уровня соответствующего месяца к уровню, рассчитанному по методу скользящей средней или определенному по уровню тренда:

, где y_i – фактический уровень, - выровненные данные.

В этой формуле влияние основной тенденции развития устраняется. Для устранения случайных колебаний производится усреднение индивидуальных индексов одноименных годовых периодов анализируемого ряда динамики:

Выделение сезонной волны можно выполнить на основе построения аналитической модели сезонных колебаний. При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

1) отношение фактических месячных (квартальных) данных (y_i) к соответствующим выравненным данным () в процентам ⇐ Предыдущая123Следующая ⇒