Образцы решения типовых заданий.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ПРИМЕР 1. Найдите предел
Решение.
Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:
(Так как при
ПРИМЕР 2. Найдите предел
Решение. Имеем неопределённость вида
ПРИМЕР 3. Найдите предел
Решение.
Имеем неопределённость вида
ПРИМЕР 4. Найти предел Решение.
Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;
ПРИМЕР 5. Найти предел хॠРешение.
Имеем неопределённость вида
ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию:
Решение.
Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:
ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение.
Дифференцируем данную функцию по х:
ПРИМЕР 8. Найти производную
Решение.
ПРИМЕР 9. Найти область определения функции
Решение.
Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек
ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график: Решение.
Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке Так как в точке
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя). Итак, Найдем производную функции и критические точки:
Составим таблицу:
Экстремум функции: Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
Определим знак второй производной в интервалах
Составим таблицу:
y( График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:
![]() ![]() ![]()
ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах Решение. Построим график данной функции в декартовых координатах для
![]()
Из этого графика видно, что
Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям j, а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу): ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда
Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда
Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.
ПРИМЕР 13. Разложить функцию
Решение.
Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что
Далее преобразуем:
Воспользуемся разложением:
![]() ![]() ![]()
Аналогично получим второе разложение:
Тогда:
Окончательно получаем:
ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл Решение. Введем подстановку
ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл
Решение.
Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:
ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл Решение.
Применим формулу интегрирования по частям:
ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл Решение.
Точка
Таким образом, данный интеграл расходится.
ПРИМЕР 18. Решить уравнение:
Решение.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:
Проинтегрируем части последнего равенства:
Отсюда:
Окончательно имеем:
ПРИМЕР 19. Решить уравнение:
Решение.
Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений
которые решаются с помощью подстановки
Отсюда:
После подстановки в исходное уравнение получим:
Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: Интегрируя обе части, получим: Используя обратную подстановку, получим: Окончательно имеем обще решение в виде:
Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:
Искомое частное решение:
|