Перечень контрольных вопросов. к экзамену по курсу «Математический анализ»

к экзамену по курсу «Математический анализ»

1. Понятие множества, элемента множества. Пустое множество, подмножество. Равенство множеств. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность.

2. Структура множества R. Аксиомы R действительных чисел. Подмножества R.

3. Понятие функции. Способы задания. Функции, заданные параметрически.

4. Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее и наименьшее значения функции на множестве.

5. Операции над функциями. Композиция функций. Сложная функция.

6. Классификация функций. Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства). Функции в экономическом анализе.

7. Понятие окрестности точки. Определение предела функции в терминах e - d. Односторонние пределы.

8. Предел функций на бесконечности. Предел последовательности.

9. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций.

10. Свойства бесконечно малых. Теорема о взаимосвязи бесконечно малой и бесконечно большой функции.

11. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве и двойном неравенстве. Предел сложной функции.

12. Первый замечательный предел, его следствия. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых в окрестности заданной точки.

13. Различные определения непрерывности функций в точке. Точки разрыва, их классификация.

14. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций, теорема непрерывности сложной функции. Непрерывность функции на множестве.

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной функции в точке.

16. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке.

17. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

18. Производная суммы, разности, произведения частного функций.

19. Производная и дифференциал сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала.

20. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков.

21. Теорема Ферма и Ролля.

22. Теорема Лагранжа.

23. Правило Лопиталя.

24. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Стационарные точки.

25. Достаточные условия экстремума.

26. Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие.

27. Направления выпуклости графика функции. Признак.

28. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба.

29. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графиков.

30. Понятие n-мерного евклидового пространства (Rⁿ), интерпретация элемента пространстве Rⁿ как точки. Окрестности точек в Rⁿ. Понятие функции нескольких переменных. График функции.

31. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференциал.

32. Свойства дифференцируемых функций - связь непрерывности и дифференцируемости.

33. Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы дифференциала.

34. Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных.

35. Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных. Метод наименьших квадратов.

36. Вычисление производных неявно заданных функций. Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции.

37. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Необходимые и достаточные условия относительного экстремума.

38. Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области.

39. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривая безразличия.

40. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

41. Основные свойства неопределенного интеграла.

42. Таблица интегралов. Приемы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям.

43. Понятие об интегрировании рациональных дробей. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

44. Простейших иррациональных функций, простейших трансцендентных функций. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной ограниченной функции, функции с конечным числом точек разрыва.

45. Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла.

46. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу.

47. Теорема о существовании первообразной. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

48. Приложения определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем.

49. Вычисление площади криволинейной трапеции в декартовых, в полярных координатах.

50. Вычисление длины кривой.

51. Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Признак сравнения.

52. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

53. Определение числового ряда. 'Частичные суммы ряда. Понятие сходящегося числового ряда. Свойства сходящихся рядов: необходимое условие сходимости ряда, линейная комбинация сходящихся рядов, свойства остатка ряда.

54. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: интегральный признак Коши, признак Даламбера, радикальный признак Коши.

55. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная, условная сходимость. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Признак Лейбница как признак условной сходимости.

56. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Абсолютная сходимость степенного ряда внутри интервала сходимости.

57. Разложение функций в степенные ряды, ряд Тейлора и Маклорена.

58. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего, частного, особого решения.

59. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейных, Бернулли.

60. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Основные методы решения. Метод неопределенных коэффициентов.

 

Список литературы:

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Высшая математика (задачник). М. Высшая школа, 1993.

3. Выгодский М.Я.: Справочник по высшей математике. М. Просвещение, 2002.

4. Демидович Б.П.: Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Высшая школа, 1986.

5. Ильин В.А, Поздняк Э.Г.: Основы математического анализа. М. Высшая школа, 1994.

6. Кудрявцев Л.Д.: Курс математического анализа. М. Высшая школа, 1998.

7. Кудрявцев Л.Д.: и др. Сборник задач по математическому анализу (ч.1 и 2). М. Высшая школа, 1998.

8. Кузнецов Л.А.: Сборник задач по высшей математике (типовые расчёты). М. Просвещение, 1983.

9. Мантуров О.В.: Матвеев Н.М. Курс высшей математики. М. Высшая школа, 1996.

10. Минорский В.П.: Сборник задач по высшей математике (ч.1 и 2). Наука, 1982.

11. Миносцев В.Б.: Курс высшей математики. М. РИЦ МГИУ, 2001.

12. Щипачёв В.С.: Высшая математика (для экономических специальностей). М. Высшая школа, 2001.