Основные законы и формулы. · Момент инерции материальной точки

· Момент инерции материальной точки

,

где – масса точки; – расстояние до оси вращения.

· Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси

,

где – расстояние материальной точки массой до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

.

· Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; – масса тела):

 

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

 

· Теорема Штейнера

,

где – момент инерции тела относительно оси, прохо­дящей через центр масс; – момент инерции относи­тельно параллельной оси, отстоящей от первой на рас­стоянии ; – масса тела.

· Момент силы относительно неподвижной точки

,

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точ­ку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

,

где – плечо силы (кратчайшее расстояние между ли­нией действия силы и осью вращения).

· Основной закон динамики вращательного дви­жения твердого тела

,

где – момент сил, приложенных к телу; момент инерции тела относительно оси вращения; – угловая скорость тела.

· Уравнение (закон) динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси

,

где – угловое ускорение; – момент инерции тела относительно оси z.

· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

,

где – расстояние от оси до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы; – момент инерции те­ла относительно оси ; – его угловая скорость.

· Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

.

· Работа при вращательном движении тела

,

где – угол поворота тела; – момент силы относи­тельно оси .

· Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ,

,

где – момент инерции тела относительно оси ; – его угловая скорость.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

,

где – масса тела; – скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; – угловая скорость тела.

· Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении:

,

где момент инерции тела относительно оси вращения; угловая скорость тела в начальном состоянии; угловая скорость тела в конечном состоянии;