КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

 

3 МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

1. Предметом механики является изучение закономерностей простейшей формы движения материи – механического движения.

Механическим движением называется процесс изменения взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени.

В определении отражен тот факт, что механическое движение (перемещение), как и всякое другое движение, происходит в пространстве и времени.

Пространство и время – сложные философские категории, несмотря на их кажущуюся очевидность, основанную на нашем житейском опыте. Эти понятия в ходе развития физики и философии претерпели весьма существенные изменения.

И.Ньютон, создавая свою механику, постулировал, что пространство и время имеют абсолютный характер. Что это значит? Это значит, что пространство и время существует независимо от материи и движения.

Пространство, по Ньютону, - протяженное, неподвижное, пустое вместилище материальных тел. Оно однородно (в нём нет привилегированных точек, все его точки равноправны), изотропно (в нём нет привилегированных направлений, все его направления равноправны) и эвклидово (его геометрия описывается геометрией Эвклида).

Время, по Ньютону, - абсолютная длительность, не зависящая от тел. Оно также однородно (в нем нельзя найти мгновение, которое отличалось бы от других) и всюду во Вселенной течет равномерно и одинаково.

Механика, постулирующая абсолютный характер пространства и времени, называется ньютоновской или классической.

Успехи классической механики в 17-19 в.в. были столь поразительны, что, по словам немецкого физика М.Лауэ, она стала «наукой, стоящей над опытом», т.е. наукой, положения которой не нуждаются в опытной проверке.

В начале 20 века некоторые представления классической механики подверглись кардинальному пересмотру. Этот пересмотр привел к созданию одной из величайших научных теорий нашего времени – теории относительности.

Основные идеи теории относительности, созданной А.Эйнштейном, сводятся к тому, что пространство и время неотделимы от материи и ее движения и имеют относительный, а не абсолютный характер, что свойства пространства и времени зависят от конкретных материальных тел, от характера и интенсивности их движений. Теория относительности установила, что классическая механика с ее представлениями об абсолютном пространстве и едином времени имеет ограниченный, приближенный характер. Она с достаточной степенью точности описывает лишь медленные (по сравнению со скоростью света) движения макроскопических тел и совершенно непригодна для описания быстрых движений и движений микрообъектов.

Быстрые движения макроскопических тел описывает так называемая релятивистская механика или специальная (частная) теория

относительности. Движения микрочастиц рассматривает механика,

называемая квантовой.

Необходимо отметить, что ни теория относительности, ни квантовая механика не отвергают полностью классическую механику, они развивают ее дальше на принципиально новой основе, обобщая на случай сколь угодно больших скоростей и сколь угодно малых масс.

В пределе уравнения релятивистской и квантовой механики (в первом случае при << C, С – скорость света в вакууме, во втором при - масса электрона) переходят в уравнения классической механики.

Следовательно, современная физика рассматривает механику Ньютона как частный, предельный случай релятивистской механики, с одной стороны, и квантовой – с другой.

2. Понятие «механического движения» неприменимо к одному, отдельному телу. О движении данного тела имеет смысл говорить лишь тогда, когда есть возможность определить его положение относительно другого тела или других тел. Поэтому, приступая к изучению движения какого – либо тела, мы должны сначала установить, по отношению к какому телу будем рассматривать движение. Из соображений удобства это тело условно считается «неподвижным».

Тело, которое условно считается неподвижным, по отношению к которому определяется положение других тел, называется телом отсчёта или системой отсчёта.

3. Механическое движение можно рассматривать с разных точек зрения. Во-первых, с геометрической, т.е. изучать внешнюю сторону различных видов движения, не вникая в те взаимодействия и причины, которые обусловливают тот или иной вид движения. Во-вторых, с причинно-следственной, т.е. изучать движение с точки зрения тех взаимодействий, которые обусловливают данное движение или изменяют его.

Разделы механики, изучающие движение с указанных точек зрения, называются соответственно кинематикой и динамикой. Особо рассматриваются условия равновесия (статика).

4. В рамках кинематики выбор системы отсчёта ничем не ограничен, все системы равноправны и любая из них может использоваться при описании движения.

С точки зрения динамики некоторые системы отсчёта имеют преимущество перед другими. Вопрос о том, какими должны быть эти преимущественные системы, будет рассмотрен позднее.

5. Основными объектами механики является материальная точка и абсолютно твёрдое тело.

Материальная точка – это тело, формой и размерами которого в

данной задаче можно пренебречь.

Вопрос о том, можно ли данное тело считать материальной точкой, определяется не абсолютными размерами этого тела, а условиями задачи, масштабами движения. Одно и тоже тело в разных задачах может рассматриваться и как материальная точка, и как протяженное тело. Например, при определении траектории полёта искусственного спутника Земли его с успехом можно принимать за материальную точку, но при расчёте затрат энергии на преодоления сопротивления атмосферы при выведении спутника на орбиту его следует считать телом, имеющим определённую форму, размеры и т.д.

Абсолютно твёрдое тело это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. В таком теле расстояния между отдельными точками остаются неизменными.

Изучение законов механического движения естественно начать с движения материальной точки. Движение такого объекта – простейшее движение, ибо в этом случае не приходится учитывать вращение тела и смещение отдельных его частей.

6. Что значит знать движение материальной точки? Это значит знать её положение в пространстве в любой момент времени.

Для определения положения точки в пространстве и аналитического описание её движения с выбранным телом отсчёта необходимо связать какую-либо координатную систему. Выберем прямоугольную (декартову) систему координат. Тогда положение материальной точки M будет однозначно определено, если будут заданы координаты x, y, z (рис.1).

Число независимых координат, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение материального объекта (точки, системы точек, тела и т.д.) в пространстве, называется числом степеней свободы.

Так как для определения положения материальной точки необходимо задать три координаты, то говорят, что материальная точка имеет три степени свободы.

Вместо трёх скалярных величин x, y, z положение точки может быть задано одной векторной – радиус-вектором , проведенным из начала координат в точку, в которой находится частица (рис.1). Координаты x, y, z являются проекциями ради-

ус-вектора на координатные оси: (3.1)

Радиус-вектор связан со своими проекциями следующим соотношением: (3.2)

где – единичные векторы вдоль координатных осей x,y,z.

Модуль вектора (его абсолютная величина):

(3.3)

 

4 ЛИНЕЙНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

 

1. Если материальная точка движется, то это означает, что ее положение относительно выбранной системы отсчёта, т.е. ее координаты с течением времени изменяются. Найти кинематический закон движения точки – значит найти конкретный вид функции, выражающей зависимость координаты от времени:

 

x=f₁ (t); y=f₂(t); z=f₃ (t). (4.1)

Если из этих уравнений исключить время, то мы получим уравнение траектории движения.

2. Траекторией движения материальной точки называется линия, которую эта точка описывает при своем движении. В зависимости от формы траектории различают движения прямолинейные и криволинейные (частным случаем криволинейного движения является движение по окружности).

Форма траектории зависит от системы отсчёта, относительно которой рассматривается движение.

3. Пусть материальная точка в данной системе отсчёта двигалась по некоторой криволинейной траектории (рис. 2).

В момент времени t₁ она занимала положение A, определяемое радиус-вектора , в момент времени t₂ - положение B, определяемое радиус-вектора .

Вектор , проведенный из начальной точки А в конечную В, называется линейным перемещением за время t = t₂ – t₁.

Легко видно из чертежа, что перемещение есть приращение радиус-вектора точки за время t: = .

Отрезок траектории , заключенный между точками А и В, называется путем, пройденным за тот же промежуток времени t (путь часто обозначается просто буквой S).

Численные значения и S в случае прямолинейного движения совпадают, в случае же криволинейного движения они совпадают только в пределе, т.е. для бесконечно малого перемещения:

4. Одно и то же перемещение две материальные точки могут совершить за различные промежутки времени.

Для характеристики быстроты изменения пространственного положения движущихся тел вводится понятие линейной скорости.

Линейная скорость – это векторная физическая величина, характеризующая процесс изменения пространственного положения движущейся точки относительно выбранной системы отсчёта, численно равная линейному перемещению, совершенному за единицу времени, и совпадающая по направлению с направлением этого перемещения.

Следует в общем случае различать среднюю и истинную или мгновенную скорости.

Пусть материальная точка, двигаясь по произвольной траектории, за некоторый промежуток переместилась на (рис.3). Чтобы рассчитать, какое в среднем перемещение совершает точка за единицу

времени, надо разделить на : . Эта величина называется

средней скоростью за время : . (4.2)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением пе-

ремещения . Если промежуток времени уменьшается, то точка В будет приближаться к точке А, а секущая АВ будет все меньше отличаться от дуги АВ. В конце концов, точки А и В сольются, при этом направление будет совпадать с направлением касательной. При →0 отношение стремится к вполне определенному пределу.

Вектор , численно равный пределу отношения при →0 и направленный по касательной к траектории в соответствующей точки, называется истинной или мгновенной скоростью:

(4.3)

Но есть производная от по t: =

Следовательно, мгновенная скорость равна производной от радиус-вектора движущейся точки по времени:

(4.4)

Численное значение (модуль) мгновенной скорости:

5. Поскольку проекциями радиус-вектора на оси координат являются координаты x, y, z, то легко найти и проекции скорости на координатные оси. 0ни будут равны производным от x, y, z по времени

(4.5)

Модуль мгновенной скорости равен

(4.6)

Зная проекции вектора скорости на оси координат, можно найти и сам вектор : (4.7)

6. Радиус-вектор , определяющий положение материальной точки относительно выбранной системы отсчета, и скорость , определяющая изменение ее пространственного положения, являются основными величинами, характеризующими состояние движения материальной точки. Поэтому эти две векторные величины (или, соответственно, шесть скалярных – x, y, z и _x, _y, _z) называются параметрами механического состояния.

7. В процессе движения величина и направление скорости могут изменяться. Быстроту изменения линейной скорости с течением времени характеризует линейное ускорение.

Линейное ускорение - векторная физическая величина, характеризующая процесс изменения линейной скорости с течением времени, численно равная изменению скорости за единицу времени и совпадающая по направлению с направлением этого изменения.

По аналогии со средней и мгновенной скоростью введем среднее и мгновенное ускорения.

Пусть в некоторый момент времени t₁, точка двигалась со скоростью , а в момент t₂ - со скоростью . Изменение скорости за промежуток времени очевидно, равно

На чертеже векторную разность найдем следующим образом. Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало со-вместилось с началом вектора (рис. 4). Вектор , соединяющий конец с концом и будет представлять собой изменение (или приращение) скорости за время .

Разделив на промежуток времени , в течение которого это изменение произошло, мы найдем среднее ускорение за этот промежуток: . (4.8)

Направление вектора , как это видно из формулы (4.8), совпадает с направлением вектора (рис. 4). При отношение стремится к вполне определенному пределу , называемому истинным или мгновенным ускорением (ускорением в данный момент времени):

(4.9)

Используя обозначение производной, выражение (4.9) можно переписать:

(4.10)

т.е. ускорение в любой момент времени определяется производной от скорости по времени.

Направление мгновенного ускорения совпадает с направлением

приращения скорости за бесконечно малый промежуток времени и в зависимости от характера изменения величины и направления скорости может составлять с вектором скорости любой угол. Этот угол будет острым, если величина скорости возрастает (в частности, он может быть равен нулю, если скорость, возрастает по величине, но не меняется по направлению). Если величина скорости уменьшается, (замедленное движение), то этот угол будет тупым (в случае, если скорость уменьшается по величине, оставаясь неизменной по направлению, он равен π). Наконец, если скорость изменяется только по направлению, вектор ускорения в любой точке траектории перпендикулярен к ней (траектория в этом случае - окружность).

Так как то (4.11)

т.е. ускорение равно второй производной от радиус-вектора по времени.

8. Проекции вектора ускорения выражаются производными от соответствующих компонент скорости по времени:

(4.12)

Принимая во внимание, что

получим: (4.13)

т.е. проекции вектора ускорения на координатные оси выражаются вторыми производными от соответствующих координат по времени.

Модуль ускорения равен (4.14)

Сам вектор равен (4.15)

9. Вектор ускорения характеризует изменение величины и направления скорости. Эти изменения можно оценивать раздельно.

Разложим вектор приращения скорости на две составляющие следующим образом. Из точки А (рис.5), в которой совмещены начала векторов и вдоль линии вектора отложим отрезок АС, равный численному значению вектора Тогда, как видно из чертежа, вектор можно представить как геометрическую сумму двух векторов - и :

(4.16)

Вектор характеризует изменение скорости за время по величине, – по направлению.

Обозначим углы, которые образуют линии векторов и с линией вектора скорости в точке А (т.е. с направлением касательной к траектории в этой точке), соответственно и .

Разделим обе части выражения (4.16) на и перейдем к пределу:

(4.17)

В пределе, т.е. при , угол стремится к нулю, а угол α; – к π/2. Следовательно, в пределе составляющая приращения скорости займет положение касательной, а - направление, перпендикулярное касательной.

Предел отношения при называется касательным или тангенциальным ускорением (4.18)

Предел отношения при называется нормальным или центростремительным ускорением : (4.19)

Можно показать, что численное значение тангенциального ускорения равно производной от величины скорости по времени, а численное значение нормального ускорения прямо пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны траектории в данной точке:

(4.20)

Таким образом, тангенциальное ускорение вектор, характеризующий изменение скорости по величине, направленный по касательной к траектории и численно равный .

Нормальное ускорение - вектор, характеризующий изменение скорости по направлению, направленный по радиусу к центру кривизны траектории и численно равный

Предел отношения при есть полное ускорение

(4.21)

Таким образом, тангенциальное и нормальное ускорения представляют собой две взаимно перпендикулярные составляющие полного ускорения:

(4.22)

Так как и взаимно перпендикулярны, то численное значение полного ускорения равно:

. (4.23)

10. Проанализируем некоторые частные случаи движения.

а) а_τ=0; а_п=0 - равномерное прямолинейное движение;

б) а_τ=const; а_п=0 - равнопеременное (равнозамедленное или равноускоренное) прямолинейное движение;

в) а_τ=0; а_п=const - равномерное движение по окружности;

г) а_τ=0; а_п= f(t) - равномерное криволинейное движение;

д) а_τ= f(t); а_п = f(t) - неравномерное криволинейное движение.

11. В заключение отметим, что поскольку нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны, а тангенциальное - по каса тельной к траектории, то полное ускорение всегда обращено внутрь траектории (рис.6)

 

5 ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ

 

1. Основная задача кинематики – нахождение положения движущейся точки, ее скорости и ускорения в любой интересующий момент времени.

Пусть известен вид функций, выражающих зависимость координат движущейся точки от времени:

x=f₁ (t); y=f₂(t); z=f₃ (t) (5.1)

Чтобы найти положение точки в некоторый момент t = t₁, достаточно это время подставить в (5.1). Исключив из (5.1) время, находят траекторию движения.

Чтобы найти зависимость от времени компонент скорости надо продифференцировать по времени функции (5.1). Зная компоненты легко определить величину и направление самой скорости.

Двукратным дифференцированием функций (5.1) мы получим зависимость от времени компонент ускорения.

2. Возможна обратная задача: по функциям, выражающим зависимость компонент ускорения от времени, можно найти величину и направление скорости, а также координаты точки в заданный момент времени. Эта задача решается обратной операцией - интегрированием: однократное интегрирование дает зависимость от времени компонент скорости, двукратное - зависимость от времени координат. При этом в формулах появляются постоянные интегрирования. Эти постоянные определяются из так называемых начальных условий.

Начальные условия - это параметры механического состояния в некоторый определенней момент времени (обычно этот момент относят к началу отсчета времени t = 0, отсюда и название – начальные условия). Начальные условия должны быть заданы дополнительно, в противном случае задача становится неопределенной.

3. Основная задача кинематики может быть решена графически.

Пусть даны графики зависимости координат от времени. Проанализируем один из них, изображенный на рис.7. Из приведенного графика легко определить проекции средней и истинной скорости на ось ОХ. Проекция средней скорости за промежуток времени t₂ – t₁ равна

Геометрически есть тангенс угла наклона секущей (1), проведенной через точки и . Следовательно, (5.2) Обратим внимание на то, что при нахождении угла наклона секущей отрезки и следует измерять не в абсолютных единицах длины, а в тех масштабных единицах, которые выбраны вдоль осей х и t.

Проекция истинной скорости на ось ОХ в момент времени t численно равна тангенсу угла наклона касательной (2), проведенной к графику в точке а: _x = (5.3)

4. Определив несколько значений _x (достаточных для построения графика), можно построить график .

Тангенсы углов наклона секущей и касательной на этом графике определят проекции среднего и истинного ускорений на ось ОХ, т.е.

(а_ср)_х и а_{х .}

5. Графически можно решать и интегральные задачи. Так, например, по графику ускорения можно найти изменения скорости за данный промежуток времени, по графику скорости – изменение координаты

 

(т.е. расстояние, пройденное вдоль соответствующей оси). Ри сунки 8 и 9 поясняют это.

Узкая полоска на рис. 8 изображает элементарное изменение (приращения) компоненты скорости _x за бесконечно малый промежуток времени dt:

d _x = a_xdt (5.4)

Изменения этого компонента за конечный промежуток времени будет численно равно площади криволинейной трапеции, покрытой на чертеже редкой штриховкой:

(5.5)

Совершенно аналогично изменения координаты за время будет равно площади под кривой на участке 0 - t₁ (рис.9): (5.6)

В заключение отметим, что графическое интегрирование может быть выполнено значительно точнее, чем графическое дифференцирование.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

Найти: 1) положения точки в моменты времени и ; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами;

3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

 

Решение. 1) Положение точки определяется значениями расстояния в указанные моменты времени; для нахождения этих расстояний надо в указанное уравнение движения подставить вместо времени значения заданных моментов времени

2) Значение средней скорости по определению

или , где - изменение расстояния за промежуток времени :

= ,

= ,

3) Общее выражение для мгновенной скорости по определению имеет вид

Подставив в это выражение вместо заданные значения времени, получим ,

.

4) Значение среднего ускорения определим как

где - изменение скорости за промежуток време-

 

ни

5) Общее выражение для мгновенного ускорения имеет вид

Подставив в это выражение вместо его заданные значения, получим ,

Пример 2. Определить зависимость пути от времени, если ускорение тела пропорционально квадрату скорости и направлено в сторону, противоположную ей.

Решение. Учитывая, что по условию ускорение пропорционально квадрату скорости и противоположно ей, запишем это в виде

Произведем разделение переменных и проинтегрируем.

После интегрирования имеем При , значит, и ; Откуда .

Выразим : тогда При , значит, . Окончательно будем иметь

Пример 3. Зависимость пути, пройденного точкой по окружности радиусом , от времени выражено уравнением . Найти скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорение точки через после начала движения, если

Решение. Прежде всего находим выражение для скорости точки.

Известно, что . Взяв производную по времени от заданного уравнения пути , получим . Значение скорости в данный момент времени найдем, если в полученную формулу подставим время и коэффициенты и :

.

Теперь найдем общее выражение для тангенциального ускорения. Из теории известно, что . Взяв производную по времени от уравнения скорости, находим . С учетом коэффициента , тангенциальное ускорение .

Полученное выражение для тангенциального ускорения не содержит времени; это значит, что оно постоянно по величине и движение точки по окружности будет равнопеременным.

Нормальное (центростремительное) ускорение найдем по его формуле , подставив выражение для скорости, а затем, и численные их значения: ; .

Полное ускорение будет равно геометрической сумме взаимно перпендикулярных тангенциального и нормального ускорений

;

 

ВОПРОСЫ ДЛИ САМОПРОВЕРКИ

 

1. Дайте определение механического движения.

2. Что называется системой отсчета?

3. Что называется материальной точкой?

4. Как задается положение материальной точки в пространстве?

5. Что называется перемещением? путем?

6. Раскройте физический смысл мгновенной скорости и ускорения.

7. Какие изменения скорости характеризуют тангенциальное и нормальное ускорения? Как находят численные значения этих ускорений?

8. Может ли точка, движущаяся по криволинейной траектории, не иметь тангенциального ускорения? Может ли эта точка не иметь нормального ускорения?

9. Как по графику x = f(t) найти составляющую скорости _x в заданный момент времени? Как по графику _x = f(t) найти изменения координаты Х за время ?