Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ




Кинематика изучает лишь пространственно-временные соотношения. В ее уравнениях отсутствуют величины, характеризующие свойства материальных тел, например, масса и их взаимодействие друг с другом, например, сила, импульс силы и др.

Зависимость характера движения от свойств тел и от их взаимодействия друг с другом устанавливает динамика.

Изучение динамики начнем с динамики материальной точки.

6 ПОНЯТИЕ СИЛЫ

Рассмотрим физическое содержание одного из важнейших механических понятий - понятия силы.

1. Опыт показывает, что изменение физических свойств материальных объектов происходит только в процессе внешних или внутренних взаимодействий.

Одной из форм взаимодействия является механическое воздействие.

Механическое воздействие, оказываемое одним телом на другое, проявляется либо в изменении размеров и формы тела, либо в измене-нии скорости, либо в том и другом одновременно. Воздействуя, например, на балку, мы вызываем ее изгиб, отталкивая от берега лодку, мы заставляем ее двигаться, изменять скорость и т.д.

Понятие силы служит для обозначения величины и направления механического воздействия одного тела на другое.

Сила - это векторная физическая величина, характеризующая механическое воздействие одного тела на другое, в результате которого тела деформируются или приобретают ускорения.

2. Как видно из определения, понятие силы в механике значительно уже нашего житейского представления о ней. Мы говорим, например, о мускульном усилии, о «силе» болевого ощущения, о «силе воли» и т.д. Между тем, эти понятия никакого отношения к физическому понятию «сила» не имеют. Заметим, что даже в самой физике есть термины, связанные со словом «сила», но содержание которых не имеет отношения к понятию «сила» (например, электродвижущая сила, сила света, оптическая сила и т.д.)

3. Сила - величина векторная. Как и всякая другая векторная величина, сила характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве (направлением действия). Кроме того, в большинстве случаев о векторе силы можно говорить как о связанном векторе и характеризовать точкой приложения.

Если действие силы проявляется только в деформациях, его называют статическим.

Если действие силы вызывает изменение скорости, его называют динамическим.

Так как и деформации, и ускорения доступны количественному измерению, то любое из этих проявлений может быть использовано для сравнения и измерения сил.

4. Конкретные силы, рассматриваемые физикой, достаточно разнообразны: сила тяжести, вес, реакции опор, силы сухого и вязкого трения, силы упругие, поверхностные, межмолекулярные, реактивная сила и т.д.

Однако по своей природе все они могут быть сведены к одной из так называемых фундаментальных сил.

Фундаментальные силы - это силы, характеризующие основные типы взаимодействия между материальными объектами. В настоящее время известны гравитационное, электромагнитное, ядерное или сильное и слабое взаимодействия. Гравитационное взаимодействие характеризуют гравитационные силы, электромагнитное - электромагнитные, ядерное – ядерные. Слабое взаимодействие, имеющее место, например, при - распаде атомных ядер, не принято характеризовать при помощи понятия силы.

Гравитационные силы действуют между любыми материальными частицами и зависят от массы частиц и расстояния между ними.

Электромагнитные силы действуют между заряженными частицами и зависят от величины электрического заряда частиц, их взаимного расположения и относительной скорости движения. Электромагнитные силы принято делить на электрические (обусловлены положением заряженных частиц) и магнитные (обусловлены движением заряженных частиц). Наконец, ядерные силы действуют между нуклонами - частицами, образующими атомное ядро. Особенностью ядерных сил является их необычайная интенсивность и короткий радиус действия (порядка 10-15м).

Действие одного материального тела на другое, по представлениям современной физики, передается с конечной скоростью через посредство особой непрерывной материи, называемой физическим полем. В соответствии с типами взаимодействия известны гравитационное, электромагнитное и ядерное поля.

 

7 ПОНЯТИЕ СВОБОДНОГО ТЕЛА

И ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.

1. Как уже указывалось, в динамике существенную роль играет выбор системы отсчета.

Физические явления протекают, вообще говоря, по-разному в разных системах отсчета. Естественно поэтому выбирать такие системы, в которых однотипные явления, например, механические, протекают одинаково и выглядят наиболее просто.

Чтобы физические явления выглядели наиболее просто, систему отсчета следует связывать с так называемым свободным телом.

Свободное (свободно движущееся) тело - это тело, не взаимодействующее с другими телами, тело, предоставленное самому себе.

Система отсчета, связанная со свободно движущимся телом, называется инерциальной.

Понятия свободного тела и инерциальной системы отсчета являются абстракциями.

Опыт показывает, что в природе нет таких тел, которые бы так или иначе не взаимодействовали друг с другом, были бы абсолютно свободными. Поэтому, строго говоря, свободных тел, а значит, и инер-циальных систем отсчета не существует. Но существует бесчисленное множество реальных систем, которые со сколь угодно большой степенью точности приближаются к инерциальной системе. Например, системы, связанные с определенными звездами, будут весьма близки к инерциальным. В меньшей степени инерциальной будет система, связанная с Землей (эта система не является инерциальной потому, что она испытывает ускорение, обусловленное суточным вращением Земли вокруг своей оси и годичным движением вокруг Солнца). Однако для целого ряда физических экспериментов можно пренебречь неинерциальностью «земной» системы, поскольку вносимые при этом ошибки достаточно малы.

Мысленных инерциальных систем существует бесчисленное множество. Все системы, связанные со свободными телами, инерциальны.

8 ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона (1642-1727), сформулированные им в «Математических началах натуральной философии» (1687 г.). Все три закона сформулированы для инерциальной системны отсчета.

1. В первом законе речь идет о движении свободного тела.

Физическое содержание первого закона динамики было раскрыто Г. Галилеем (1564 - 1642) задолго до того, как Ньютон дал его формулировку.

До Галилея еще со времен Аристотеля (ІV век до н.э.) в физике господствовало убеждение, что равномерное прямолинейное движение поддерживается силой. В «Метафизике» Аристотеля мы читаем: «Движущееся тело останавливается, как только сила, его толкающая, прекращает свое действие».

Телам приписывалось некое внутреннее стремление останавливаться.

Галилей был первым, кто решительно отверг эти ошибочные представления. Он пришел к выводу, что в реальных ус­ловиях «стремление» тел останавливаться обусловлено не их внутренними свойствами, а вторичными, внешними причинами.

Галилей понял, что в реальных условиях сила необходима не для того, чтобы поддерживать равномерное прямолинейное движение, а для того, чтобы компенсировать уже имеющееся внешнее воздействие, прежде всего силу трения, которая обычно является основной причиной прекращения движения. Галилей на опыте убедился, что если силу трения постепенно уменьшать (до известных пределов этого можно добиться техническими средствами - обработкой поверхностей скольжения, подбором подходящих материалов, смазкой и т.д.), то движение, т.е. скорость тела, будет изменяться все медленнее и медленнее.

Идя дальше по этому пути уже мысленно, абстрагируясь от реальных условий, Галилей пришел к выводу, что в отсутствие внешних воздействий движение тела должно сохраняться неизменным сколь угодно долго, т.е. всякое свободное тело должно двигаться равномерно и прямолинейно (или покоиться).

Движение, которое тело совершает в отсутствие внешнего воздействия, называется инерциальным, а сам принцип инерциального движения - законом инерции.

Инерциальное движение происходит само по себе, оно является неотъемлемым, естественным состоянием любого освобожденного от внешнего воздействия материального тела и вовсе не нуждается в каких-либо внешних «двигателях».

Напротив, неинерциальное движение (движение неравномерное, ускоренное) всегда происходит только при наличии непрерывного внешнего воздействия. Неинерциальное движение тотчас же переходит в инерциальное, как только исчезает воздействие сил. Это значит, что если в момент прекращения действия сил тело покоилось, то оно и в последующем будет пребывать в этом состоянии, если же тело двигалось, то в дальнейшем оно будет сохранять величину и направление той скорости, какую имело в момент исчезновения сил.

Таким образом, первый закон динамики утверждает, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное тело сохраняет состояние

покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.

2. Все, о чем говорилось выше, требует известного напряжения абстрактной мысли. Дело в том, что непосредственно на опыте мы не можем ни доказать, ни опровергнуть первый закон динамики. Инерциальное движение - это идеальный, предельный случай движения.

3. В реальных условиях мы можем практически полностью скомпенсировать внешние воздействия и наблюдать почти равномерное прямолинейное движение. Так, компенсируя силу трения, действующую на поезд, тягой электровоза, мы можем заставить его двигаться практически равномерно и прямолинейно. Значит, в реальных условиях, тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

или кратко

. (8.1)

4. Первый закон Ньютона справедлив только в инерциальной системе отсчета. Это нетрудно понять.

Представим две системы, движущиеся друг относительно друга с ускорением. Пусть тело, свободное от воздействия, движется относительно одной из систем равномерно и прямолинейно, Так как вторая система движется относительно первой с ускорением, то и тело относительно этой, второй, системы будет двигаться с ускорением.

Чтобы в отсутствии внешнего воздействия тело двигалось равномерно и прямолинейно, необходимо, чтобы свободной от воздействия была сама система отсчета. Такую систему мы условились называть инерциальной.

Так как первый закон динамики выполняется только в инерциальных системах отсчета, то само определение инерциальной (или неинерциальной) системы можно дать с точки зрения выполнения этого закона.

Инерциальная система отсчета - это система, в которой первый закон Ньютона - закон инерции выполняется абсолютно точно. Иначе говоря, это такая система, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно.

5. Первый закон Ньютона в механике играет весьма важную роль и имеет вполне самостоятельное значение, а не является простым следствием второго закона, как это может, на первый взгляд показаться.

В этом законе содержится постулат о существовании инерциальных систем отсчета, идея об однородности и изотропности пространства относительно инерциальных систем отсчета.

Если тело свободно от внешних воздействий, то ничто не может изменить его скорость относительно таких систем. Пространство, будучи однородным и изотропным, само по себе изменить эту скорость не может.

 

9 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

 

1. Второй закон Ньютона отвечает на вопрос, каким будет движение тела относительно инерциальной системы отсчета при наличии сил.

Этот закон утверждает: тело под действием силы приобретает ускорение, пропорциональное этой силе.

Несмотря на то, что второй закон динамики является обобщением опытных фактов, проверить его со всей строгостью непосредственно на опыте, в реальных земных условиях невозможно. На опыте этот закон оправдывается лишь приближенно.

Почему?

Во-первых, потому, что во всех таких опытах неизбежно присутствуют дополнительные воздействия (трение, сопротивление среды и т.д.), учесть которые оказывается далеко не просто.

Во-вторых, потому, что опыты проводятся на Земле - в неинерциальной системе отсчета, в системе, которая сама движется с ускорением. Результатом этого является то, что наблюдаемые ускорения не вполне соответствуют реально действующим силам. Наблюдаемые ускорения обусловлены не только воздействием сил, но и неинерциальностью системы отсчета. Однако если предпринять меры к тому, чтобы ускорения, обусловленные силами, были значительно больше ускорений, обусловленных неинерциальностью системы отсчета, то экспериментальная точность опытов будет вполне удовлетворительной.

2. Будем воздействовать на одно и то же тело разными силами и всякий раз находить отношение силы к соответствующему ускорению - . Опыт покажет, что это отношение для данного тела является величиной постоянной. Обозначим эту величину буквой m:

(9.1)

Можно убедиться в том, что отношение силы к сообщаемому ею ускорению постоянно для любых других тел (при этом величина его может оказаться разной). Мы приходим к выводу, что от­ношение зависит только от того, к какому телу приложена сила. Следовательно, величина , называемая массой может служить мерой вполне определенного динамического свойства тел, а именно, свойства приобретать под действием данной силы вполне определенное ускорение, свойства изменять скорость механического движения не сразу, не мгновенно, а постепенно.

Свойство тел изменять величину и направление скорости постепенно называется инерцией.

Можно сказать, таким образом, что масса есть количественная мера инерции материальных тел.

Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает под действием данной силы, т.е. тем медленнее изменяется его скорость.

Масса тела не зависит от температуры тела, его агрегатного состояния, химического состава, электрических, магнитных, упругих и иных свойств. В классической механике масса полагается величиной аддитивной (масса составного тела равна сумме масс отдельных его частей и не зависящей от скорости движения). Содержание массы, однако, не исчерпывается одними только динамическими проявлениями. В ряде физических явлений масса служит мерой иных свойств материальных объектов. Поэтому часто массу, фигурирующую во втором законе Ньютона и характеризующую инерционные свойства тел, называют «инертной».

3. Соотношение (9.1) позволяет по динамическому эффекту, обусловленному силой,- ускорению, найти массу тела.

Мы будем, однако, полагать, что масса измерена каким-либо другим способом (это возможно). Тогда соотношение (9.1) можно толковать как зависимость ускорения не только от силы, но и от массы:

, (9.2)

k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения ускорения, силы и массы. Эти единицы выбирают таким образом, чтобы k = 1.

Тогда (9.3)

Опыт показывает, что направление ускорения всегда совпадает с направлением силы, вызвавшей это ускорение. Учитывая направления и , получаем: . (9.4)

Это – одна из простейших формулировок второго закона Ньютона.

Ускорение, приобретаемое телом относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально силе, действующей на тело, зависит от массы тела и направлено в сторону силы.

4. Формулу (9.4) можно записать в виде

(9.5)

Это соотношение используется в качестве определяющего уравнения при установлении единиц измерения силы.

В системе СИ масса измеряется в килограммах (сокращенно кг), ускорение – в метрах на секунду за секунду ( 2). Единицей силы в системе СИ является ньютон (Н). Ньютон – это такая сила, под действием которой тело массой в 1кг приобретает ускорение :

.

Силу часто измеряют в килограммах (кГ). Килограмм – это такая сила, которая телу массой 1кг сообщает ускорение 9,8 2:

.

5. Чтобы перейти от векторной формы записи второго закона к скалярной, векторные величины соотношения (9.5) следует спроектировать на координатные оси выбранной системы координат:

тах = Fx;

таy = Fу ; (9.6)

таz = Fz;

6. Опыт показывает, что при взаимодействии материальных тел выполняется принцип независимости действия сил (принцип суперпозиций): если на тело одновременно действует несколько сил, то действие каждой силы происходит независимо от других. Это значит, что

деформация или ускорение, обусловленные данной силой, будут тако-выми, как если бы других сил не было.

Следовательно, в общем случае, когда на тело одновременно действуют несколько сил, под в формуле (9.4) нужно понимать результирующее ускорение, под геометрическую сумму всех действующих сил, а не какую-то «особую» силу ускорения:

. (9.7)

т.е. ускорение, приобретенное телом, прямо пропорционально результирующей всех действующих на тело сил и обратно пропорционально его массе.

7. Приведем теперь более общую формулировку второго закона Ньютона.

Механическое движение в процессе взаимодействия тел может быть частично или полностью передано от одного тела к другому. Чтобы судить о потенциальных возможностях какого-либо тела в этом отношении, недостаточно знать одну только скорость перемещения – в этом нас убеждает опыт. Сравните, например, движения футбольного мяча, летящего со скоростью 20 м/с, и поезда, идущего со скоростью

20 м/с; «запасы» механического движения этих тел различны, несмотря на одинаковую скорость. По-видимому, должна существовать единая мера механического движения, одинаковая для всех тел. Такая мера действительно существует и называется импульсом или количеством движения.

Импульс - это векторная физическая величина, характеризующая способность механического движения передаваться от одного тела к другому, численно равная произведению массы тела на его скорость и совпадающая по направлению с направлением скорости:

(9.8)

Заметим, что численное значение импульса и его направление зависят от выбора системы отсчета, так как от системы отсчета зависит величина и направление скорости.

Опыт показывает, что изменение импульса тела однозначно связано с величиной и направлением силы, которая на него действует. Пусть в некоторый момент времени t импульс тела был . Под действием силы (она может быть переменной) за элементарный проме-жуток времени импульс тела изменился на (в случае переменной силы промежуток времени должен быть таким, чтобы сила в течение этого промежутка времени практически не изменялась). Разделив изменение импульса на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло, мы рассчитаем, на сколько изменился импульс за единицу времени при условии, что во все последующие интервалы времени движение будет изменяться точно такими же темпами, что и в течение промежутка . Отношение есть скорость изменения импульса.

Ньютон установил, что скорость изменения импульса тела (произ-водная от импульса по времени), равна по величине действующей силе и совпадает с ней по направлению:

(9.9)

Это соотношение и есть общая форма математической записи второго закона Ньютона. Из этой формулы можно получить тот частный вид математического выражения второго закона, который мы привели выше. Действительно, если масса не изменяется с течением времени, то ее можно вынести за знак производной:

, но , следовательно, .

8. Создавая свою механику, Ньютон не подозревал, что масса, так же как и пространство, и время, - понятие относительное, зависящее от системы отсчета, от скорости движения. Поэтому предположение о неизменности массы без каких-либо специальных оговорок молчаливо положено в основу классической механики.

С точки зрения ньютоновской механики выражение второго закона динамики

, и тождественны.

С точки зрения современной физики эти формулы равноправны только для медленных (по сравнению со скоростью света) движений, когда изменением массы, обусловленным изменением скорости тела, можно пренебречь.

При скоростях, соизмеримых со скоростью света, эффект возрастания массы будет столь ощутим, что формула (9.5) оказывается непригодной. Для быстрых движений необходимо пользоваться формулой (9.9). Дифференцируя левую часть этого уравнения по правилам дифференцирования сложной функции, получим:

. (9.10)

9. Соотношение (9.9) позволяет сделать вывод о том, что сила характеризует процесс передачи механического движения от одного тела к другому и численно равна импульсу, передаваемому за единицу времени.

10. Математическое выражение второго закона часто приводят еще в одном виде. Умножим обе части уравнения (9.9) на :

. (9.11)

Величина описывает действие силы во времени и называется импульсом силы.

Импульс силы – это вектор, численно равный произведению силы на время ее действия и совпадающий по направлению с направлением силы.

В левой части соотношения (9.11) стоит изменение импульса тела за элементарный промежуток времени . Таким образом, изменение импульса тела за время равно импульсу действующей на него силы за тот же промежуток. Это еще одна из формулировок второго закона Ньютона.

11. Из формулы (9.11) видно, что второй закон Ньютона – закон дифференциальный. Его можно привести к интегральному виду. Обозначим импульс буквой и перепишем формулу (9.11):

(9.12)

Сложим все элементарные приращения импульса за конечный промежуток времени и одновременно подсчитаем импульс действующей силы за тот же промежуток. Для этого возьмем определенные интегралы от левой и правой частей соотношения (9.12):

. (9.13)

Если const, мы получим: 2 - 1 = (9.14)

Если , то (9.15)

12. Обратимся к более подробному рассмотрению понятия инерции.

Инерция - важнейшее свойство, присущее всем материальным объектам (в том числе и полевой форме материи). Этим свойством тела обладают независимо от того, свободны они или взаимодействуют с другими телами, покоятся или движутся.

Необходимо чётко представлять, в чем проявляется инерция тел в различных условиях: в отсутствии внешнего воздействия и при наличии такового.

Ответ на этот вопрос дают первый и второй законы Ньютона.

В отсутствие внешнего воздействия инерция проявляется в том, что тело сохраняет неизменным свое состояние движения или покоя.

При наличии внешнего воздействия – сил, инерция проявляется не в том, что тело стремится сохранить свое состояние движения неизменным (ибо как только нескомпенсированая, даже сколь угодно малая сила начинает действовать, движение тела - величина и направление скорости - тотчас же изменяются, возникает ускорение), а в том, что изменения движения тела происходит постепенно.

Следовательно, инерция - это свойство тела сохранять имеющееся состояние движения или покоя (относительно инерциальной системы отсчета) неизменным при отсутствии воздействия и изменять это состояние постепенно при наличии воздействия.

С проявлениями инерции мы сталкиваемся очень часто. Но, к сожалению, объяснения этих проявлений иногда бывают ошибочными. Поэтому мы рассмотрим здесь один пример. Пусть на гладком, без бортиков столике движущегося вагона лежит предмет. При резком торможении поезда этот предмет может соскользнуть со столика. Почему? Потому, отвечают некоторые, «что предмет сохраняет свою первоначальную скорость», «продолжает двигаться по инерции». Такое объяснение, в сущности, ошибочно.

В самом деле, почему столик изменяет свою скорость, а предмет ее сохраняет? Могут ответить: «на столик действует тормозящая сила со стороны вагона (столик жестко скреплен с вагоном). Это верно, но разве на предмет не действует тормозящая сила? Действует! Тормозящей силой для предмета является сила трения, приложенная к нему со стороны столика (при торможении поезда эта сила направлена в сторону, противоположную движению). Так как на предмет действует неуравновешенная сила, скорость его (относительно полотна дороги) не может сохраняться, она изменяется! Вся суть в том, что изменение скорости столика и предмета происходят неодинаково быстро, иными словами, столик и предмет приобретают разные ускорения: столик большее, предмет меньшее. В результате предмет, опережая столик, начнет скользить по его поверхности в направлении по ходу поезда. Если же сила трения, действующая на предмет, достаточна для того, чтобы сообщить предмету такое же точно ускорение, какое имеет столик, - никаких относительных перемещений происходить не будет: столик и предмет будут тормозиться или ускоряться как единое целое.

Таким образом, инерционные эффекты объясняются не тем, что одни тела «сохраняют» свое движение (или покой) неизменным, а другие, напротив, изменяют, а тем, что изменение движения, изменение скорости всех взаимодействующих тел происходит неодинаково бы-стро: одни тела изменяют свое движение быстрее, другие медленнее. В результате мы наблюдаем относительные перемещения тел.

И еще одно обстоятельство не следует забывать. Изменение скорости тела зависит не от одной только инерции (читай: массы) тела. Оно зависит также от величины силы и времени ее воздействия.

 

10 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

1. Особо следует сказать о динамике движения тела, масса которого изменяется за счет присоединения или отделения частиц. Например, масса падающей дождевой капли изменяется вследствие испарения молекул или, наоборот, их конденсации, масса ракеты или самолета изменяется за счет выбрасывания продуктов сгорания; в принципе, к телам с изменяющейся массой можно отнести автомобиль, тепловоз и т.д.

2. Движение тела переменной массы в общем случае может изменяться, во-первых, за счет воздействия внешних сил, во-вторых, за счет взаимодействия тела с отделяющимися (или присоединяющимися) частицами. У одних тел решающую роль в изменении скорости играют внешние силы (автомобиль, тепловоз, винтовой самолет), у других – силы, возникающие при взаимодействии с отделяющимися частицами (реактивный самолет, ракета).

Закономерности движения тел переменной массы были подробно исследованы И.В.Мещерским и К.Э.Циолковским.

Силы, возникающие при отделении (или присоединении) частиц, называются реактивными.

Можно доказать в самом общем случае, что величина и направление реактивной силы, возникающей при отделении (или присоединении) частиц, зависит: 1) от быстроты изменения массы тела (в случае присоединения частиц масса тела увеличивается, поэтому >0, в случае отделения частиц масса тела уменьшается, поэтому <0);

2) от величины и направления скорости (относительно тела), с которой частицы покидают тело или присоединяются к нему: = . (10.1)

Как видно из этой формулы, реактивная сила, действующая на тело, совпадает по направлению с направлением , если частицы

присоединяются, и противоположна этой относительной скорости,

если частицы отделяются.

Поскольку на тело переменной массы всегда действует не только реактивная сила, но также и внешние силы (например, на ракету действует сила притяжения к Земле, Солнцу, сопротивление атмосферы и т.д.), ускорение такого тела будет определяться результирующей внешних и реактивных сил:

, (10.2)

здесь - масса тела в данный момент времени; - внешняя сила;

- реактивная сила

Учитывая (10.1), соотношение (10.2) , можно переписать:

. (10.3)

 

Последнее соотношение носит название уравнения Мещерского. Оно позволяет решать ряд важных прикладных задач механики.

 

11 ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

1. Опыт показывает, что воздействие одного тела на другое никогда не является односторонним. Если тело 1 действует на тело 2 с силой , то, в свою очередь, тело 2 действует на тело 1 с силой , причем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис.10):

= - . (11.1)

В этом и заключается суть третьего закона Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению.

2. Одну из сил взаимодействия обычно называют силой «действия», другую – силой «противодействия». Не следует, однако, думать, что «действие» и «противодействие» чем-либо принципиально отличаются друг от друга. Обе силы совершенно равноправны и имеют одинаковую природу. Так, если «действующая» сила обусловлена упругой деформацией, то сила «противодействия» обусловлена также деформацией другого тела, с которым данное тело взаимодействует, если сила «действия» имеет гравитационное происхождение, то «противодействие» вызвано той же причиной и т.д. Любую из сил мы вправе назвать «действующей» и любую – «противодействующей».

Изучая движение какого-либо тела, мы обычно указываем только те силы, которые действуют на это тело, и отвлекаемся от сил, приложенных к другим телам. Но эти силы существуют, и забывать о них, вообще говоря, не следует. Они позволяют лучше понять происхождение той или иной силы. Следует всегда помнить, что за каждой силой стоит реальное тело, с которым данное тело взаимодействует. Указывая силу, мы тем самым всегда указываем на два тела, которые взаимодействуют друг с другом.

Так как силы действия и противодействия приложены к разным телам, то они не могут уравновесить друг друга.

Если заменить силы в формуле (11.1) в соответствии со вторым законом Ньютона произведениями масс на ускорения, то третий закон Ньютона будет иметь вид:

или , (11.2)

т.е. ускорения, сообщаемые друг другу взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.

Из третьего закона Ньютона непосредственно вытекает одно важное следствие: взаимодействие двух тел не может вызвать их перемещение в одном направлении.

Чтобы оба взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, необходимо, чтобы на одно из тел или на оба одновременно подействовало третье тело.

 

12 ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ СИЛ,

РАССМАТРИВАЕМЫХ В МЕХАНИКЕ

Дадим краткую характеристику сил, рассматриваемых в механике.

1. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешних сил.

Если после прекращения действия внешней силы, вызвавшей деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, оно называется упругим. Упругими называются и деформации, возникающие в таком теле. Упругие тела обладают способностью оказывать сопротивление изменению их формы и объема. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации (например, при сжатии или растяжении), пропорциональна величине деформации:

, (12.1)

величина смещения (растяжения или сжатия);

проекция упругой силы на направление смещения.

Знак «минус» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частиц тела (рис.11).

- так называемый коэффициент упругости – константа, характеризующая и вещество, и «геометрию» тела – его форму, размеры и т.д.

2. Сила всемирного тяготения - сила взаимного притяжения, действующая между любыми материальными телами или частицами,

обусловлена гравитационным взаимодействием материальных тел.

Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними

(материальные точки) или имеют сферическую форму и однородны, сила тяготения между ними численно равна

, (12.2)

(закон всемирного тяготения Ньютона), где и - массы тел; - расстояние между телами (в случае шаров – расстояние между центра-ми шаров); - гравитационная постоянная.

Так как размеры обычных тел малы по сравнению с радиусом Земли и так как Земля по своей форме близка к шару, силу земного тяготения, действующую на тело массой , можно вычислить по формуле:

, (12.3)

где - масса Земли; - расстояние от тела до центра Земли.

3. Сила тяжести - отвесная составляющая силы земного тяготения (на Луне – лунного тяготения и т.д.).

Сила тяжести во всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, не совпадает с силой тяготения по направлению и во всех точках, кроме полюсов, меньше ее по величине.

Объяснение. Пусть некоторое тело лежит на поверхности Земли в точке, находящейся на широте (рис.12). На тело действует сила тяготения и реакция опоры (эта сила обусловлена упругостью опоры). Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение (тело вследствие вращения Земли вокруг своей оси движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной земной оси).Реакция опоры уравновешивает не силу тяготения , а ее составляющую , которая и называется силой тяжести.

Как видно из рис.12, силы и не равны по величине и не совпадают по направлению.

 

4. Вес тела – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или натягивает вертикальный подвес.

Причиной возникновения этой силы являются упругие деформации, появляющиеся при взаимодействии тела и опоры (деформации тела и опоры могут быть вызваны действием сил тяготения или каких-либо других сил).

Опыт показывает, что любое тело оказывается деформированным, если оно движется относительно Земли с ускорением , не равным ускорению свободного падения . Это ускорение, в частности, может

быть равно нулю, т.е. тело либо покоится относительно Земли, либо равномерно и прямолинейно движется.

Будучи деформированным, стремясь восстановить свою первоначальную форму, тело давит на опору с вполне определенной силой, которую и называют весом тела - .

Численно значение веса может значительно отличаться от числен-ного значения силы тяжести (мы говорим лишь о численных значениях этих сил потому, что они приложены к разным телам!). В одних случаях вес может быть больше силы тяжести (например, в космических кораблях во время разгона), в других – меньше ее (например, в самолетах при «проваливании» в воздушные «ямы»).

Вес тела может быть равен нулю. Это особое состояние, при котором тело не оказывает давления на опору (становится невесомым), называется невесомостью. В этом состоянии тело свободно от деформаций. Единственной силой, которая продолжает действовать на тело в состоянии невесомости, является сила тяготения.

Если тело и опора покоятся относительно Земли, то сила тяжести и вес тела численно равны! Это используется при нахождении силы тяжести тела.

Определив силу, с которой тело растягивает пружину неподвижного динамометра или давит на чашку неподвижных весов, т.е. его вес, мы тем самым найдем и численное значение силы тяжести. Поэтому, когда задают вес тела, например, 10 Н, то, в конечном счете, задают его силу тяжести =10 H.

5. Давление тела на опору приводит к его деформации. Будучи деформированной, опора оказывает действие на тело. Это действие проявляется в возникновении так называемой реакции опоры, которую принято раскладывать на две составляющие – нормальную реакцию опоры и силу трения . Нормальная реакция опоры - это упругая сила, действующая со стороны опоры на тело в направлении, пер-пендикулярном плоскости соприкосновения тела и опоры (Если тело подвешено, то реакция подвеса направлена вдоль подвеса). Реакция опоры зависит от степени деформации опоры.

Если опора горизонтальна, то нормальная реакция опоры и вес тела являются по отношению друг к другу силами действия и противодействия. Следовательно, определив из условий движения силу, с которой такая опора действует на тело, мы найдем, с какой силой тело давит на опору, т.е. его вес.

Рассмотрим пример.

 

На тело, помещенное в кабине лифта (рис.13), действует сила тяжести и реакция опоры . При движении лифта с ускорением , направленным вертикально вверх, второй закон динамики для тела запишется в виде

, (12.4)

откуда сила , а стало быть, и вес тела будут равны

 

(12.5)

При таком направлении ускорения (не движения, а ускорения!) вес тела оказывается больше силы тяжести ( .

Если ускорение направлено вертикально вниз, то реакция опоры и вес тела оказы-ваются меньше силы тяжести:

. (12.6)

В состоянии невесомости вес и реакция опоры равны нулю, единственной силой, сообщающей и телу, и опоре ускорение, будут иметь вид , но . Следовательно, в состоянии невесомости тела двигаются с ускорением = .

6. Силы трения возникают при движении твердых тел, жидкостей и газов. Различают сухое (или внешнее) и вязкое (или внутреннее) трение. Сухое трение возникает при относительном перемещении соприкасающихся твердых тел, вязкое трение – при движении жидкостей и газов. В зависимости от характера перемещения одного твердого тела по поверхности другого различают трение скольжения и трение качения.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Направлена эта сила по касательной к плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению относительного движения.

Сила трения качения – сила, возникающая при качении одного тела по поверхности другого.

Сухое трение может возникнуть и между неподвижными телами – так называемое трение покоя.

Сила трения покоя (неполная сила трения) возникает тогда, когда внешняя сила, действующая на тело в плоскости соприкосновения, недостаточна для того, чтобы вызвать его скольжение.

Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе.

Сила трения покоя максимальна, когда тело находится на грани скольжения.

Численное значение максимальной силы трения покоя определяется из закона Кулона:

, (12.7)

где - коэффициент, зависящий от свойств поверхностей соприкосновения и определяемый экспериментально (коэффициент трения);

- сила нормального давления опоры на тело (нормальная реакция опоры).

Если внешняя сила достигает значения, чуть-чуть превышающего , начинается скольжение.

Силу трения скольжения при малых скоростях движения можно приближенно вычислить по формуле (12.7).

Существенным отличием вязкого трения от сухого является то, что в жидкостях и газах трение покоя отсутствует. Если тело, погруженное в жидкость или газ, покоится, то со стороны жидкости или газа на тело могут действовать только силы, направленные перпендикулярно к поверхности соприкосновения.

Сила вязкого трения зависит от скорости (при небольших скоростях она пропорциональна первой степени скорости, при больших скоростях – более высоким степеням скорости).

13 МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

1. Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические процессы (при одинаковых условиях) в разных инерциальных системах. Иными словами, влия-ет ли равномерное и прямолинейное движение системы на ход механических процессов, происходящих внутри системы?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах. Если окажется, что законы механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и будет означать, что механические явления протекают во всех инерциальных системах одинаково.

2. Для того чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила, по которым осуществляется преобразование координат и времени, а также правила сложения скоростей, ускорений, сил и т.д. Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о пространстве и времени, называются преобразованиями Галилея.

3. Рассмотрим две инерциальные декартовы системы координат и . Будем полагать условно, что одна из систем покоится (система ), а другая ( ) равномерно и прямолинейно движется относительно первой со скоростью . Из соображений простоты будем считать, что в начальный момент времени (t=0) начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают (рис.14)

Движение системы происходит вдоль оси X неподвижной системы без поворота осей и (во время движения системы ` оси и , и остаются параллельными друг другу).

Найдем связь между координатами одной и той же материальной точки M в этих двух системах. Пусть положение точки относительно движущейся системы в некоторый момент времени определяется радиус-вектором , относительно неподвижной - (рис. 15), перемещение системы относительно системы за промежуток времени t, прошедший от начального момента до рассматриваемого, определяет радиус-вектор .

 

 

 

По правилам векторного сложения

= + (13.1)

Перемещение подвижной системы

= . (13.2)

Тогда = + ,

Откуда = - . (13.3)

Спроектировав все векторы соотношения (13.3) на оси координат, мы найдем связь между компонентами векторов и :

(Так как ); (13.4)

К этим формулам следует добавить формулу преобразования времени. Классическая механика, как уже говорилось, полагает, что время абсолютно. Это значит, что показания двух часов, связанных с системами и , и выверенных (синхронизированных) для начального момента, должны быть одинаковыми для любых последующих моментов: . (13.5)

Соотношения (13.3) – (13.5) и называются преобразованиями Галилея.

4 Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике.

Продифференцируем (13.3) по времени:

, где - скорость точки относительно движущейся системы координат; - скорость точки относительно «неподвижной» системы.

Учитывая обозначения, получаем:

(13.6)

Для проекций:

(13.7)

Обращаем внимание на то, что в основе формул (13.6) – (13.7) лежит предположение, что время в обеих системах течет одинаково быстро:

. (13.8)

Из преобразований Галилея вытекает также, что расстояние меду точками (длины отрезков), относительные скорости, ускорения, промежутки времени, силы не изменяют своих численных значений при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. являются абсолютными, неизменными, или, как говорят, инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея.

Убедимся в этом.

а) Пусть некоторый стержень покоится относительно системы . Обозначим длину стержня в этой системе

, (13.9)

(стержень параллелен оси ). Относительно системы О этот стержень движется со скоростью . Отметив координаты концов стержня в системе О в один и тот же момент времени, мы найдем его длину в системе, относительно которой он движется. Пусть эти координаты будут и . Тогда длина стержня в этой системе будет равна:

. (13.10)

Выразим и через и по (13.4) и найдем разность - :

.

(13.11)

Мы видим, что длина стержня при переходе от «неподвижной» инерциальной системы к движущейся не изменяется. Совершенно аналогично можно было бы показать, что не изменяются при таком переходе и относительные скорости.

б) Убедимся теперь в том, что второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея.

Пусть в «неподвижной» системе на материальную точку действует сила и сообщает ей ускорение . Второй закон Ньютона в системе О имеет вид:

. (13.12)

Найдем вид второго закона Ньютона в движущейся инерциальной системе.

Рассматриваемые в механике силы зависят либо от относительного расположения взаимодействующих тел (например, силы тяготения), либо от относительной скорости их движения (магнитные силы), либо от времени.

Так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ни взаимные расстояния, ни относительные скорости, ни про-межутки времени не изменяются, то не изменяются при этих переходах и силы:

. (13.13)

 

В проекциях:

(13.14)

Не изменяется и ускорение. В этом легко убедиться, продифференцировав формулу сложения скоростей (13.6), учитывая при этом, что постоянно:

.

Слева стоит ускорение тела в движущейся системе ( ), справа – ускорение этого же тела в «неподвижной» системе ( ):

= . (13.15)

В проекциях:

(13.16)

Что касается массы, то классическая механика «априори» полагает,

что эта величина остается неизменной в любой системе отсчета.

Следовательно,

(13.17)

Мы видим, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе и силы взаимодействия, и ускорения, и масса не изменяются.

Следовательно, второй закон Ньютона в системе имеет вид

, (13.18)

полностью совпадающий с тем же законом в системе О.

Таким образом, мы доказали, что второй закон Ньютона инвариантен по отношению к преобразованиям Галилея.

Можно убедиться в том, что и другие соотношения механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

Так как уравнения механики имеют одинаковый вид в разных инерциальных системах, то все механические явления в этих системах должны протекать одинаковым образом. Иначе говоря, равномерное прямолинейное движение системы не оказывает влияния на ход механических процессов и его невозможно обнаружить из механических опытов. Так, находясь в каюте корабля, идущего равномерно и прямолинейно, мы не сможем, не выглянув в иллюминатор, не слыша гула работающей машины, определить, движется корабль или нет. Все механические процессы будут протекать в этом случае так, как если бы корабль был неподвижен.

Таким образом, никакими механическими опытами, проведенными в инерциальной системе отсчета, невозможно установить, движется ли эта система равномерно и прямолинейно или покоится


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1671. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.149 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7