МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА.

 

15 ПОНЯТИЕ ОБ ЭНЕРГИИ

1. Опыт показывает, что различные формы движения материи способны к взаимным превращениям. Так, упорядоченное механическое движение может превратиться в хаотическое молекулярное движение, электромагнитное движение может превратиться в механическое и т.д.

Опытом установлено, что все взаимные превращения различных форм движения материи происходит в строго определенных количественных соотношениях. Движение бесследно не исчезает. «Исчезно-вение» одной формы движения всегда сопровождается «возникновении

ем» эквивалентного количества движения другой формы – подтверждается одно из основных положений материалистической философии – положение о неучтожимости движения.

Изучение закономерностей превращения одних форм движения в другие с количественной точки зрения убеждает в том, что должна объективно существовать единая мера различных форм движения материи, одинаковая для всех форм движения и типов взаимодействия. Причем эта мера должна характеризовать любую форму движения (в том числе и механическое движение!) с точки зрения принципиальных возможностей превращения данной формы движения в другую.

Может ли служить такой универсальной мерой импульс , введенный нами при изучении механического движения? Нетрудно убедиться, что эта величина не может служить такой мерой.

Действительно, представим движение с трением. Если тело движется равномерно и прямолинейно, то его скорость, а стало быть, и импульс не изменяются ни по величине, ни по направлению. Значит ли это, что механическое движение данного тела не передается в процессе перемещения окружающим телам, не превращается в качественно новые формы движения? Нет, не значит. Опыт показывает, что при движении с трением всегда происходит превращение упорядочно-го механического движения в неупорядочное молекулярное движение (доказательством этого превращения служит увеличение интенсивности движения атомов и молекул соприкасающихся тел, о чем мы судим по нагреванию тел).

Следовательно, импульс тела никак не характеризует той части механического движения, которая превращается в другие виды.

Импульс может служить мерой лишь той части механического (не любого, а именно механического) движения, которая в процессе взаимодействия сохраняется в механической же форме. Иначе говоря, величина определяет, какое количество механического движения не «способно» в рамках данной системы отсчета к превращению в другие виды движения. Поиски такой всеобщей меры, посредством которой можно было бы измерить различные формы движения и взаимодействия, привели к открытию одного из важнейших физических понятий – понятия энергии и одного из самых фундаментальных законов природы – закона сохранения и превращения энергии.

2. Состояние тела или системы тел, частиц и т.д. определяется рядом физических величин, называемых параметрами состояния. Параметры состояния характеризуют некоторые существенные свойства системы.

Значения параметров состояния в рассматриваемые моменты времени определяются из уравнений, описывающих процессы, происходящие в системе. Сравнение параметров состояния для различных моментов времени дает возможность видеть, насколько быстро протекает во времени тот или иной процесс.

Перечислим некоторые физические величины, являющиеся параметрами состояния.

Мы уже отмечали, что механическое состояние материальной точки определяется координатами ( и проекциями вектора скорости на координатные оси (; так называемое термодинамическое состояние системы определяется молярным объемом , давлением и абсолютной температурой . Состояние электромагнитного поля – векторами напряженности и индукции (точнее, их проекциями на координатные оси: .

3. Энергия, как единая мера различных форм движения материи, представляет собой физическую величину, зависящую от параметров состояния системы.

Энергия (в широком смысле слова) – единая мера различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов, являющаяся однозначной, непрерывной, конечной, дифференцируемой функцией параметров состояния системы:

, , , , (15.1)

4. В любой системе могут происходить изменения, обусловленные участием системы в различных формах движения (в системах могут происходить, например, механические перемещения тел, различные молекулярные, электромагнитные, ядерные и т.д. процессы). Обычно изменения, обусловленные различными формами движения, рассматривают раздельно. В связи с этим разумно и энергию, определяемую соотношением (15.1), рассматривать «по частям», иначе говоря, каждой форме движения приписывать определенный вид энергии. Энергию, зависящую от параметров механического состояния, называют механической; энергию, зависящую от параметров термодинамического состояния – внутренней и т.д.

5. Обратим внимание на то, что механическая энергия зависит от двух векторных параметров: параметра , определяющего положение тела относительно другого тела, с которым оно взаимодействует, и па-раметра , определяющего интенсивность движения тела в пространстве:

(, ). (15.2)

Представляется возможным разбить механическую энергию на два слагаемых, каждое из которых зависит только от одного параметра:

(, )= ()+ (). (15.3)

Часть механической энергии, зависящая от скорости движения тела в пространстве, называется кинетической энергией:

()= . (15.4)

Часть механической энергии, зависящая от относительного расположения взаимодействующих тел или их частей, называется потенциальной энергией:

()= . (15.5)

6. Изменение любого вида энергии, передача ее от одних материальных объектов к другим происходит в процессе взаимодействия. Изменение энергии системы означает изменение ее движения, изменение ее параметров состояния.

Существуют два принципиально различных способа изменения энергии. Один из них называется работой, другой – теплопередачей.

Роль этих способов в изменении разных видов энергии неодинакова.

Внутренняя энергия, например, может изменяться и за счет работы, и за счет теплопередачи. Механическая же энергия макроскопических тел может изменяться только за счет работы.

Поскольку мы рассматриваем пока закономерности механической формы движения, обратимся к более подробному рассмотрению механической энергии и работы.

 

16 МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

1. Работа представляет собой процесс, связанный с упорядоченными перемещениями взаимодействующих макроскопических тел. Это процесс, в ходе которого изменяются параметры состояния тела илисистемы. Это процесс передачи движения, передачи энергии от одного тела к другому («вода, падая на лопасти гидротурбины, совершает работу» - это лишь иной способ сказать, что вода передает свое движение, свою энергию лопастям и валу турбины). Это процесс, в ходе которого происходит превращение одного вида энергии в другой.

Подчеркнем: превращение одного вида энергии в другой, одной фор-мы движения в другую – важнейший признак работы. Когда мы говорим, что при движении автомобиля силы трения совершают работу, то это снова лишь иной способ сказать, что энергия движения автомобиля как целого, т.е. его механическая энергия, превращается в энергию беспорядочного молекулярного движения – во внутреннюю энергию.

Наконец, можно сказать, что работа – это пространственная характеристика действия силы.

2. Для того чтобы совершалась работа, необходимо, чтобы на тело действовала сила, вызывающая либо перемещение тела как целого, либо смещение отдельных его частей.

Численное значение элементарной работы равно произведению силы на перемещение точки приложения силы и на косинус угла между направлением действия силы и направлением перемещения:

. (16.1)

Записанная формула представляет собой количественное определение работы. Именно эта, а не какая-либо другая величина, оказывается однозначно связанной с функцией параметров состояния – энергией.

Из векторной алгебры известно, что величина есть численное значение скалярного произведения вектора на вектор :

Следовательно, численное значение работы равно скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

(16.2)

3. Произведение можно

рассматривать как проекцию вектора

силы на направление перемещения (рис.19):

= .

Тогда . (16.3)

Можно спроектировать вектор перемещения на направление силы: .

В этом случае: . (16.4)

4. Формула (16.1) позволяет вычислить работу, совершаемую силой на бесконечно малом перемещении . Бесконечно малое перемещение по абсолютной величине равно бесконечно малой длине пути . Поэтому уравнение (16.1) можно переписать в форме:

(16.5)

5. Формулы (16.1) – (16.5) – дифференциальные. Они справедливы и для постоянных, и для переменных сил. Чтобы вычислить работу, совершаемую переменной силой на конечном произвольном пути , надо сначала рассчитать работу на каждом из бесконечно малых участков этого пути, а затем сложить все элементарные работы. Это суммирование сведется к интегрированию:

(16.6)

Если величина и направление силы не изменяются, а движение происходит по прямолинейному пути, то интегрирование приведет к очень простой формуле:

. (16.7)

6. Работа – величина алгебраическая. Это означает, что она может быть и положительной, и отрицательной. Если 0 < ( >0), то работа, совершаемая силой, положительна (силу, совершающую положительную работу, иногда называют движущей). Если < ( <0), то работа силы отрицательна (такую силу называют силой сопротивления).

Сила, действующая на тело, не совершает работы, если

а) тело покоится ( =0);

б) направление силы перпендикулярно направлению перемещения ( и =0).

Так, если человек стоит с тяжелым грузом в руках, то, несмотря на напряжение мышц, он не совершает механической работы. Более того, он не совершит работы, если перенесет этот груз на некоторое расстояние по горизонтальному пути. Мы видим, что понятие работы в механике значительно уже нашего обыденного представления о ней. Не всякое усилие и не всякая деятельность есть «работа» в механическом смысле.

7. Если на тело действует несколько сил, то из принципа независимости действия сил вытекает, что работа равнодействующей силы (полная работа) равна алгебраической сумме работ всех составляющих

сил:

=

(16.8)

8. Работа может быть представлена графически на диаграмме . Вдоль оси абсцисс откладывается путь, вдоль оси ординат – проекция силы на направление пути. Если проекция силы на направление S постоянна ( =const), то графиком ее будет прямая, параллельная оси S (рис.20), а работа, совершенная силой на пути (она равна в этом случае ), изобразится площадью прямоугольника, покрытого штриховкой.

Если проекция силы на направление S изменяется, графиком будет некоторая кривая (рис.21). Работа в этом случае изобразится площадью криволинейной трапеции (она будет равна интегральной сумме бесконечно узких полосок, изображающих элементарные работы на отдельных малых перемещениях):

9. Для характеристики быстроты совершения работы вводится величина, называемая мощностью.

Мощностью называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой за единицу времени.

Вводят понятие средней мощности: , (16.9)

мгновенной: (16.10)

Выразим элементарную работу через силу и перемещение

и подставим в формулу мощности , но есть мгновенная скорость движения . Следовательно, мгновенная мощность оказывается равной скалярному произведению вектора силы на вектор скорости :

или = . (16.11)

 

10. Единицей работы в системе СИ является джоуль.

Джоуль (Дж) – это работа, совершаемая силой 1Н на пути 1м (при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения): 1Дж=1Н 1м.

Единица мощности в системе СИ – ватт.

Ватт (Вт) – это такая мощность, при которой совершается работа в 1Дж за 1сек.

Распространенный внесистемной единицей работы является килограммометр (кГм). Соответствующая единица мощности - .

17 РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

 

1. Покажем теперь, что работа силы, действующей на тело, однозначно связана с изменением энергии этого тела.

Пусть на тело, движущееся в горизонтальной плоскости без трения, в течение некоторого времени действовала переменная сила, которая изменила скорость этого тела от до , причем во время движения тело не выходило из указанной горизонтальной плоскости (это ограничение означает, что высота тела над поверхностью Земли остается неизменной).

Выясним, на что затрачивается работа этой силы.

Подсчитаем сначала работу, совершаемую силой на бесконечно малом отрезке пути (рис.22). Согласно (16.5) она равна , где (или ) – касательная составляющая силы. Касательная составляющая силы сообщает телу тангенциальное ускорение . По второму закону Ньютона = m (в скалярном виде).

 

 

Мы знаем, что численное значение тангенциального ускорения равно производной от скорости по времени: = .

Тогда .

Но есть численное значение скорости в произвольный момент времени t. Следовательно,

. (17.1)

Чтобы найти полную работу, совершаемую силой на всем пути от точки 1 (начальное состояние) до точки 2 (конечное состояние), надо сложить все элементарные работы, т.е. проинтегрировать выражение (17.1).

.

Начальное состояние характеризуется скоростью , конечное - , поэтому пределы интегрирования 1-2 можно представить как

-- :

. (17.2)

Мы видим, что работа силы, изменяющей величину скорости тела равна разности двух значений физической величины , где С – некоторая произвольная постоянная. Величина является функцией состояния тела, так как ее изменение не зависит от пути перехода тела из начального состояния 1 в конечное состояние 2, от способов, посредством которых достигнуто изменение скорости от значения до значения . Иными словами, изменение этой величины не зависит от того, каковы были промежуточные состояния, быстро или медленно изменялась скорость тела, какая сила – постоянная или переменная – действовала на него, по какой траектории – прямолинейной или криволинейной – происходило движение и т.д. Если скорость тела массой изменилась от до , то это значит, что силы, действующие на тело, совершили за это время работу, величина и знак которой определяются разностью . По изменению величины можно судить о величине произведенной

работы и, наоборот, по совершенной работе можно судить об измене-нии величины .

Функцию механического состояния, зависящую от скорости движения тела, называют кинетической энергией:

= . (17.3)

Константа должна быть определена. Из физических соображений ясно, что кинетическая энергия равна нулю, если равна нулю скорость тела = 0. Отсюда следует, что = 0. Следовательно,

. (17.4)

Используя введенное обозначение, соотношение (17.2) можно переписать:

 

, (17.5)

где - кинетическая энергия тела в начальном состоянии;

- кинетическая энергия тела в конечном состоянии;

- работа, совершаемая силой, действующей на тело, в процессе перехода его из начального состояния в конечное.

Обозначим - = .

Тогда = . (17.6)

2. В общем случае изменение скорости тела может быть обусловлено совместным действием нескольких сил. В этом случае под в выражении (17.6) следует понимать алгебраическую сумму работ, совершаемых всеми силами:

= . (17.7)

Если скорость изменяется на бесконечно малую величину, то

. (17.8)

Таким образом, приращение кинетической энергии тела при его переходе из одного состояния в другое равно алгебраической сумме работ, совершаемых всеми силами, действующими на него в процессе этого перехода. Это утверждение носит название теоремы об изменении кинетической энергии, а соотношения (17.6) и (17.8) есть матема-тические выражения (интегральное и дифференциальное) этой теоремы.

Из формулы (17.6) видно, что если работа силы, действующей на тело, положительна, то кинетическая энергия тела возрастает ( > 0), тело получает энергию от тех тел, которые являются «источником» силы, если эта работа отрицательна, то энергия уменьшается ( < 0), тело отдает энергию окружающим телам.

3. Обладая кинетической энергией, тело способно совершить работу, т.е. способно отдать эту энергию другим телам – заставить их двигаться, изменять скорость, деформироваться и т.д. В этом смысле говорят об энергии как о способности тела совершать работу. Максимум работы, которую может совершить тело в данной системе отсчета благодаря тому, что оно перемещается, обладает скоростью, определяется запасом его кинетической энергии, т.е. величиной .

18 РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

1. Энергией тело обладает не только тогда, когда оно перемещается в пространстве, но и тогда, когда оно взаимодействует с другими телами. Силы взаимодействия, в принципе, могут вызывать перемещение, и тогда оно оказывается способным отдать свое движение другим телам, - иными словами, совершить работу. Но пока тело «неподвижно», его движение (энергия) внешне никак не проявляется, оно существует «скрыто», «втуне», поэтому можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передать свою энергию другим телам.

Энергию, которой обладает тело вследствие того, что оно взаимодействует с другими телами, и зависящую от взаимного расположения тел и их частей, как мы говорили, называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина, заряженное тело, находящееся в электростатическом поле, и т.д. Следует, однако, подчеркнуть, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие можно характеризовать потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел можно характеризовать потенциальной энергией, если между ними действуют силы, величина и направление которых зависят только от относительного расположения тел (от координат) и не зависит от величины и направления скорости, иными словами, если эти силы независят от времени и не являются следствием движения. Мы убедим-ся в последующем, что таковыми являются, например, силы тяготения (тяжести), упругие силы, силы электростатического взаимодействия зарядов.

2. Найдем работу, которую совершает сила тяжести, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте (рис.23). Перемещение может осуществляться как угодно – с постоянной или переменной скоростью – это не скажется на величине работы, совершаемой силой тяжести. Элементарная работа, совершаемая силой тяжести на бесконечно малом перемещении , равна

(18.1)

Полная работа = .

Так как величина и направление силы тяжести в любой точке траектории остаются неизменными (что справедливо в случае, когда масштабы перемещения значительно меньше радиуса Земли: << , << ), то ее можно вынести из-под знака интеграла:

= .

Произведение есть проекция вектора перемещения на направление . Эта проекция отрицательна (так как направление оси и направление вектора образуют тупой угол).

= .

Таким образом,

= . (18.2)

Работа, совершаемая силой тяжести при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положений тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это значит, что если бы движение происходило по другой траектории, например, по траектории, изображенной на рис.23 пунктиром, то работа силы тяжести все равно была бы равна разности .

3. Силы, работа которых не зависит от формы пути, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы пути, называются неконсервативными.

Сила тяжести является, следовательно, консервативной силой.

Каждое из слагаемых выражения (18.2) должно быть представлено в виде .

Величина является функцией состояния взаимодействующих тел (тела массы и Земли). Она является таковой потому, что ее изменение не зависит от промежуточных состояний, от пути перехода тела из начального положения в конечное.

Следовательно, величину мы вправе назвать потенциальной энергией поднятого над Землей тела:

= . (18.3)

4. Численное значение потенциальной энергии может быть определено лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной . Величина этой константы зависит от начала отсчета координат (в нашем случае от начала отсчета высот ) и от выбора так называемого нулевого уровня потенциальной энергии.

Выбор нулевого уровня потенциальной энергии – это выбор точки или уровня (поверхности), где потенциальная энергия тела условно полагается равной нулю.

Выбор начала отсчета координат произволен. Столь же произволен и выбор нулевого уровня потенциальной энергии. В принципе, его можно выбирать где угодно. Однако, практически этот уровень стремятся выбрать так, чтобы константа обратилась в нуль.

Условимся в случае поднятого над Землей тела высоты отсчитывать от поверхности Земли, а потенциальную энергию тела считать равной нулю, когда оно лежит на этой поверхности, т.е. на высоте =0. Подставив в (18.3) =0 и =0, найдем, что =0.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела, поднятого на высоту , равна

= . (18.4)

(формула верна для << , где - радиус Земли).

Неопределенность численного значения потенциальной энергии не имеет принципиального значения, поскольку мы всегда имеем дело не с самой энергией, а с ее изменениями. При нахождении разности энергий произвольная постоянная исключается.

5. Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицательное численное значение.

Потенциальная энергия тела отрицательна, если при его перемещении из данной точки на нулевой уровень консервативные силы, действующие на него, совершают отрицательную работу. Рис.24 поясняет это.

6. Говоря об энергии – и кинетической, и потенциальной, следует иметь в виду, что энергия всегда характеризует систему, состоящую, по крайней мере, из двух тел, ибо лишено смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.

 

 

7. Итак, мы можем записать окончательно:

= . (18.5)

Работа, совершаемая силой тяжести при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы.

Если сила тяжести совершает положительную работу ( >0), то потенциальная энергия тела уменьшается ( < ). В этом случае

говорят, что тело совершает работу за счет убыли потенциальнойэнергии.

8. При изменении высоты тела над поверхностью Земли на бесконечно малую величину : (18.6)

Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел.

9. Рассмотрим теперь потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела.

В качестве такого тела рассмотрим упругую пружину.

Опыт показывает: для того, чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта внешняя сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается.

Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму. При этом потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деформации, превращается в другие виды энергии. Мерой энергии, превратившейся в другие виды, является величина работы, совершенной упругой силой. Вычислим работу, которую совершает упругая сила, при изменении удлинения (деформации) пружины от величины до величины ( > ). Вычислим сначала работу на бесконечно малом перемещении (так как упругая сила – величина переменная)

,

где - проекция упругой силы на ось .

По закону Гука

= .

Следовательно, (18.7)

Полная работа при изменении длины пружины на конечную величину равна:

 

 

. (18.8)

Полученная работа вновь не зависит от того, как произошло изменение длины пружины. Упругая сила, так же как сила тяжести, консервативна, а разность есть разность двух значений (начального и конечного) потенциальной энергии пружины:

= , (18.9)

где и .

- константа, зависящая от выбора состояния пружины, при котором ее потенциальную энергию можно считать равной нулю. Обычно считают равной нулю потенциальную энергию недеформированной пружины ( = 0). Тогда = 0 и, следовательно,

. (18.10)

Мы рассмотрели потенциальную энергию одного из видов деформации – линейного растяжения или сжатия. Заметим, что формулы потенциальной энергии других видов упругой деформации (кручения, сдвига, изгиба и т.д.) будут иметь точно такой же вид, если под понимать коэффициент жесткости тела по отношению к конкретному виду деформации, а под - меру этой деформации (например, угол закручивания, стрелу прогиба и т.д.).

11. Вид формул, выражающих потенциальную энергию взаимоде