Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.

Практическая работа № 19

Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости

Цель работы:проверить умения и знания по нахождению интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба.

Теоретический материал.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.

 

Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке

Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке

Точка, в которой меняется направление выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба.

Промежутки, в которых график функции выпуклый или вогнутый, называются промежутками выпуклости.

Выпуклость характеризуется знаком второй производной:

Теорема: Если вторая производная функции в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости:

1. Найти вторую производную
2. Найти критические точки второго рода, то есть точки, в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

Если в некотором промежутке вторая производная положительна, то функция на нем вогнута, если – отрицательна, то выпукла

Пример 1: Найти промежутки выпуклости кривой

Решение:

	+		-		+

 

Пример 2. Найти точки перегиба кривой

Решение:

		-1
	-		+

 

. Точка перегиба

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. D(y)=

2.E(y)=

3. - функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, непериодичная

4.

5. - вертикальные асимптоты

Найдем наклонные асимптоты.

 

- уравнение наклонной асимптоты.

 

6.

 

Критические точки:

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

 

7.

.

 

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.