Примеры исследования на линейную зависимость систем векторов
Пример 1.1. Исследовать на линейную зависимость и найти ранг системы многочленов
В случае линейной зависимости найти подсистему Решение. Составим равенство (1.2):
Запишем систему вида (1.5) с основной матрицей
После приведения матрицы
Перейдем от ступенчатой матрицы к системе уравнений. Получим
Так как
Так как
Аналогично взяв
|
:
, 
, 
, 
.
, являющуюся линейно независимой. Выразить векторы через векторы подсистемы 
.
:
.
.
, то выберем за базисные (основные) переменные 
, за свободные – переменные 
. Выражая базисные переменные через свободные, получим общее решение ОСЛАУ
, следовательно, рассматриваемая система многочленов линейно зависима. В качестве линейно независимой подсистемы примем 
. Тогда остальные векторы 
можно выразить через векторы подсистемы 
, получим 
. Тогда из равенства (1.2) следует, что
.
, получим 
и
.
