Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2,..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1),..., A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2,..., en. Матрица
столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе. Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно
с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A. При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e1,..., en} к базису e' = {e'1,..., e'n}. Связь между матрицей Ae оператора A в базисе e и матрицей Ae' этого оператора в базисе e' задается формулой
Здесь
|
каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
- матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.
.
Выпишем ее матрицу и вектор-столбец переменных.
; 
.
Тогда квадратичную форму можно представить в виде
- матричная запись квадратичной формы.
Пример. 
R.
.
, 
.
= 
.
Определение 1. Если в некотором базисе квадратичная форма не содержит смешанных произведений переменных, т.е.
,
то этот базис называют каноническим базисом данной квадратичной формы, а вид 
называют каноническим видом данной квадратичной формы.
Определение 2. Нормированием вектора называется нахождение вектора того же направления единичной длины.
.
Теорема 1. Любую симметричную матрицу можно представить в виде A=U T DU, где D - диагональная матрица, у которой на диагонали расположены собственные числа матрицы А; U - матрица, составленная из нормированных собственных векторов матрицы А. Каждый вектор является столбцом.
Следовательно, любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью некоторого ортогонального преобразования координат. Для всякой квадратичной формы существует канонический базис.
.
Если ввести новые переменные по формуле 
, то квадратичная форма примет следующий вид:
- канонический вид квадратичной формы.
Из данного равенства видно, что коэффициентами в каноническом виде являются собственные числа матрицы А.
Теорема 2 (закон инерции квадратичных форм).В любом каноническом виде квадратичной формы количество положительных и отрицательных коэффициентов постоянно.
Пример 1. Y X 1
.
Если повернуть систему Y 1 X
координат на 900, то
уравнение примет вид
.
В этих базисах оба слагаемых со знаком "+".
Пример 2. Приведем квадратичную форму
к каноническому виду. Выпишем ее матрицу.
.
Найдем собственные значения матрицы квадратичной формы. Решим характеристическое уравнение.
,
,
,
Корни данного уравнения являются делителями свободного члена. Разложим его на простые множители и подберем один из корней.
- является корнем. Разделим многочлен на линейный множитель l-3.
Найдем корни остатка.
Получили три собственных значения матрицы. Найдем соответствующие им собственные векторы. Собственный вектор, соответствующий собственному значению l =3, найдем из уравнения 
.
,
,
Пусть х 3= -1,
или 
Итак, собственному значению 
соответствует собственный вектор 
.
Пронормируем собственный вектор. 
.
Аналогично находятся векторы 
. Базис, составленный из векторов 
, является каноническим для данной квадратичной формы.
,
,
.
В этом базисе квадратичная форма имеет вид 
.
Формула преобразования координат имеет вид 
.
