ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.

22. Точка М лежит внутри треугольника АВС. Докажите, что ВМ + МС < ВА + АС.

23. В треугольнике из вершины угла проведены биссектриса и высота. Доказать, что угол между ними равен полуразности двух других углов треугольника.

24. В треугольнике ABC сумма сторон АВ и АС равна а, A =60° и длина биссектрисы угла А составляет - стороны ВС. Найдите стороны треугольника.

25. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 5 см. В каких пределах может изменяться периметр треугольника?

26. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумм квадратов всех его сторон.

27. Один из углов треугольника 150⁰, а две из его сторон равны 2 и 7. Найдите всевозможные значения площади треугольника.

28. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 2.Чему равно основание этого треугольника, если известно, что площадь треугольника – целое число?

29. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны 30⁰ и 45⁰. Найдите всевозможные значения периметра треугольника.

30. В треугольнике АВС точки А ₁, В ₁, С ₁ делят стороны ВС, АС, АВ соответственно в отношениях: ВА ₁: А ₁ С = 3: 7; АВ ₁: В ₁ С = 1: 3; АС ₁: С ₁ В = 1. Найдите отношение площадей треугольников АВС и А ₁ В ₁ С ₁.

31. Пусть А и В – точки, l – прямая на плоскости. Найдите на прямой l такую точку М, что сумма АМ + МВ принимает наименьшее значение, если точки А и В расположены:

а) по разные стороны от прямой l; б) по одну сторону от прямой l.

32. Доказать, что медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

33. Площадь треугольника АВС равна 30 см². На стороне АС взята точка D так, что AD: DC = 2: 3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9 см. Найти ВС.

34. Вывести формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.

35. В треугольнике даны длины двух сторон и величина угла между ними. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины данного угла.

36. В треугольнике АВС проведена медиана ВD, , , ВС = а. Найти медиану ВD.

37. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания.

38. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

39. В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90⁰, CD - высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если KP = 4.

40. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.

41. Докажите, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.

42. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.

43. Сторона АВ треугольника АВС равна . На стороне ВС отмечена точка К так, что КАС = В. Найдите площадь треугольника, если ВК = 9, КС = 4.

44. Найти острые углы треугольника АВС, если , , ВК = 1, где СК – высота треугольника.

45. Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО = 5, ОК = 3. Найдите АН.

46. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что В + С = АКВ. АК = 5, ВК = 16, КС = 2. Найдите сторону АВ.

47. В треугольнике АВС В = 135⁰, АВ = , АС = 5. Найдите площадь треугольника.

48. В треугольнике АВС А = 60⁰, ВС = 10, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите отрезок КМ.

49. В треугольнике АВС: АВ = 5, ВС = 10, АС = . Найдите площадь треугольника, образованного высотой АН, медианой АМ и биссектрисой ВК данного треугольника.

50. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

51. Точка А ₁ лежит на стороне ВС треугольника АВС так, что А ₁ В: А ₁ С =1:3. Вершина А - середина отрезка МС. В каком отношении (считая от В) прямая А ₁ М делит сторону АВ?