Еластичність

Назвемо еластичністю і -го продукту по відношенню до попиту на j -ий продукт величину

Зміст еластичності очевидний, якщо записати у виді

показує, в скільки разів відносний приріст випуску і -го продукту більший ніж відносний приріст попиту на j -ий продукт. Економісти пояснюють еластичність так: величина вказує на скільки процентів повинен зрости випуск і -го продукту при збільшенні попиту на j -ий продукт на 1%.

Теорема 2 (про оцінку еластичності в моделі Леонтьєва). Якщо матриця А продуктивна і нерозкладна, то еластичність будь-якого продукту по відношенню до попиту на довільний продукт не перевищує 1.

▼; Доведення. Доведемо для , вважаючи, що .

Нехай і .

Розглянемо вираз

Означення Набір векторів (p^*, w^*, x^*, r^*, c^*) називається станом рівноваги при заданих А, В і функціях попиту c(p, w) та пропозиції r(p, w) якщо виконуються такі умови:

x^* = A x^* + c^*

B x^* ≤ r^*

p^*A + w^*B ≥ p^* (6)

c^* = c(p^*, w^*)

r^* = r(p^*, w^*)

Очевидно, що рівноважний валовий випуск x^* є розв’язком задачі лінійного програмування (2), а рівноважні ціни на фактори w^* - розв’язком двоїстої до неї задачі (3). За теорією двоїстості лінійного програмування значення цих задач рівні, (p^*, c^*) = (w^*, r^*), де (p^*, c^*) – максимальна вартість кінцевої продукції, а (w^*, r^*) – мінімальна вартість первісних факторів. Таким чином, у стані рівноваги національний продукт = національному доходу.

Згідно теорії двоїстості, якщо обмеження задовольняються в точці розв’язку як строга нерівність, то відповідні двоїсті змінні в оптимальному плані є нульовими. Таким чином для прямої задачі (1) маємо

(7)

Ця умова означає, що коли загальний попит на фактор менший наявної пропозиції, то оптимальна оплата цього фактора нульова. Тому підхід лінійного програмування до загальної рівноваги поширюється не тільки на дефіцитні фактори, що мають додатню оплату, але також на вільні фактори, оплата яких = нулю

Для двоїстої задачі аналогічні умови (доповнювальної нежорсткості) записуються таким чином: для j=1, …, n якщо

, то (8)

Тобто, коли товар вироблений із збитком (тобто середні витрати на виробництво, що дорівнюють лівій частині нерівності у твердженні (8), перевищують ціну), то тоді оптимальний випуск цього товару – нульовий, тобто товар не виробляється. Таким чином, підхід лінійного програмування до загальної рівноваги охоплює не тільки товари, що виробляються (при середніх витратах виробництва рівних ціні), але й товари, що не виробляються.

Теорема. Якщо функція попиту c(p, w), функція пропозиції r(p, w) однозначні та неперервні для довільних цін p ≥ 0, w ≥ 0, то стан рівноваги (6) в економіці існує.