Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение напряжений в массиве грунта при действии единичной вертикальной силы N, приложенной к границе грунтового основания.




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Решение задачи Буссинеска. Основано на следующих гипотезах (впоследствии подтвержденных точными решениями):

а) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, являются главными напряжениями. По этой причине касательные напряжения на указанных площадках отсутствуют;

б) нормальные напряжения, лежащие в вертикальной плоскости, на площадках, нормальных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, равны нулю;

в) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, прямо пропорциональны косинусу угла видимости и обратно пропорциональны квадрату радиуса сферы. Под углом видимости понимается угол между радиусом сферы, проведенным в центр площадки, и центральной вертикальной осью сферы.

Постулированные гипотезы позволяют получить замкнутые аналитические решения о распределении напряжений в полупространстве от действия вертикальной силы на его границе, основанные исключительно на уравнениях равновесия. Решение задачи поясняется графическими построениями на рис. 4.5, на котором представлены вертикальный разрез полупространства и его сечения горизонтальными плоскостями.

Начало прямоугольной декартовой системы координат разместим в точке приложения вертикальной силы Р на границе полупространства. Ось z направим по вертикали вниз, ось x – по горизонтали вправо, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа. Относительно начала осей координат построена полусфера радиусом R, пересечение которой с вертикальной плоскостью, проходящей через центральную ось, образует полуокружность такого же радиуса. В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z образуется окружность радиусом r. Угол видимости радиуса r на вертикальном разрезе обозначим β.
В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z dz образуется окружность радиусом r + dr с углом видимости на вертикальном разрезе β + dβ. Рассмотрим равновесие сферического кольца, выделенного из полусферы двумя горизонтальными плоскостями на глубине z и z dz. С учетом того, что длина образующей сферического кольца равна R∙dβ, площадь его поверхности определится формулой: S = 2⋅π⋅rRdβ. На поверхности сферического кольца действуют нормальные напряжения σR, а касательные напряжения, в соответствии с гипотезой а), отсутствуют. Найдем напряжения σR из условия равновесия проекций всех сил, действующих по поверхности полусферы радиусом R, на вертикальную ось z.

 

 

Рис. 4.5. Графическое построение к решению задачи Буссинеска

 

Условие равновесия:

 

(4.1)

 


В соответствии с гипотезой в), σR = A cosβ/R2. Кроме этого, r = R ⋅ sinβ. Подставляя в уравнение (3.1) выражения для σR и r и выполняя преобразования, получим:

 

(4.2)

 

Выполняем замену переменных в уравнении (4.2): u = cosβ, du = − sinβ ⋅dβ. Продолжая преобразования, получим выражение для неопределенного коэффициента А:

 

; (4.3)

 

 

Выразим cosβ через ординату z: cosβ = z/R. С учетом этого, формула для определения напряжения σR будет иметь вид

 

. (4.4)

 

Практический интерес представляют напряжения на горизонтальной площадке, наклоненной к площадке, на которой действуют напряжения σR, под углом β. В соответствии с гипотезой б) главный вектор напряжений на горизонтальной площадке σ′R совпадает по направлению с вектором напряжения σR, а его модуль равен σ′R = σR ⋅ cosβ. Проекции главного вектора напряжений σ′R на координатные оси являются компонентами тензора напряжений на горизонтальной площадке. Поскольку главный вектор напряжений σ′R совпадает по направлению с радиусом вектором R, направляющие косинусы вектора напряжений определяются формулами:

 

. (4.5)

 

С учетом полученных выше зависимостей, компоненты тензора напряжений на
горизонтальной площадке будут определяться формулами

 

; (4.6)

 

.

Формулу для σz обычно табулируют. Для этого выполняют следующие преобразования:

 

(4.7)

, (4.8)

 

В дальнейшем для практических расчетов расчетную схему задачи приводят к более простому виду (рис. 4.6). Вертикальные напряжения в расчетной точке М определяют по формуле

 

.

 

Рис. 4.6. Схема к определению напряжений в массиве грунта при действии единичной вертикальной силы
Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, приводится в справочных данных.

Z – глубина точки;

r – расстояние от точки до линии действия силы;

М – рассматриваемая точка;

N – сосредоточенная вертикальная сила.

 

Определение напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил, приложенных к границе грунтового основания (принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил).

 

Рис. 4.7. Схема к определению напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил

 

Если к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства приложено несколько сил (N1, N2, ..., Nn), то при прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями можно использовать принцип суперпозиции и найти значение σz в любой точке М простым суммированием:

 

, (4.9)

.

 

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, определяется так же как и в предыдущем случае.

Определение напряженийσzв массиве грунта при действии любой распределенной нагрузки, приложенной к границе грунтового основания (метод элементарного суммирования).

Пусть к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства в пределах площади загружения приложено распределенное давление. Загруженную площадь можно разбить на небольшие прямоугольники и более сложные фигуры по ее контуру.
С некоторым приближением давление, распределенное в пределах i-гo прямоугольника, можно заменить равнодействующей Ni , приложенной в центре тяжести этого давления. Вертикальное сжимающее напряжение от действия силы Ni составит .

Рис. 4.8. Схема к определению напряжений в массиве грунтапри действии любой распределенной нагрузки

 

Определив величину szi от нагрузки каждой из небольших фигур, на которые разбита площадь загружения, и произведя суммирование этих напряжений, определим напряжение szi от действия распределенной нагрузки (аналогично формуле 4.9):

 

,

 

.

 

Этот метод также иногда называют методом элементарных квадратов.

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/z, определяется так же как и в предыдущих случаях.

Точность расчета увеличивается с уменьшением размеров отдельных элементов, однако при большом числе элементов значительно увеличивается трудоемкость задачи.







Дата добавления: 2015-07-04; просмотров: 957. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.029 сек.) русская версия | украинская версия